Gruppen - Nebenklassen

Aufrufe: 634     Aktiv: 17.02.2021 um 12:48
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Ich habe noch eine Frage bezüglich Gruppen / Untergruppen / Normalteiler, die mich jetzt schon länger beschäftig



Woran erkennt man, dass bspw.: 0 + U, 3 + U, 6 + U in der selben Nebenklasse sind (muss ich dazu das größte Element der Untergruppe mit dem kleinsten Element der Gruppe verknüpfen, sodass im Endeffekt für alle Elemente aus der Untergruppe derselbe Wert herauskommt, oder woran erkennt man das?
Die Operationstafel ist logisch, aber die Einteilung verstehe ich leider überhaupt nicht

Ich kanns mir nur für z.B. m3 denken {3m...} sei eine Untergruppe der ganzen Zahlen, mit 0 + m3, 1 +m3, 2 + m3 spannt man die Gruppe der ganzen Zahlen auf



Danke schon mal :)
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Du kannst ja mal \(0+U,3+U,6+U\) direkt ausrechnen: $$0+U=\{0+u\ |\ u\in U\}=\{0,3,6\}=3+U=6+U$$Also handelt es sich um ein und dieselbe Nebenklasse. (Sie sind nicht in der selben Nebenklasse, wie du geschrieben hast, sie sind die Nebenklasse.)
Intuitiv kannst du dir vorstellen, dass man in den Nebenklassen Elemente gleich behandelt, die sich nur um ein Vielfaches von \(3\) unterscheiden, also quasi diese Information "vergisst". Folglich werden \(0,3,6\) als gleich behandelt.
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Vielen lieben Dank Stal für deine Hilfe (hab ja schon selber ein schlechtes Gewissen) - aber ich hab zu wenig praktisch geübt, rein die Vorlesung angesehen, ist natürlich bezüglich praktischer Anwendung nicht so schlau.
Ich hätte noch eine kleine Frage - habe dazu noch ein Bild hochgeladen
|_ wäre ja dann {1,2,4,7,8,11,13,14} d.h. die Ordnung wäre 8, von 4 wird erzeugt nach 4^(n) {4,1} (bis ich wieder beim neutralen Element bin. Nach Langrange teilt 2, 8.
In dem Fall, wo es keine Vielfaches gibt müsste ich sodann mit jedem Element aus der Gruppe, die teilerfremd zum Modul sind operien, sodass dann
U, 1 + U, 2 + U, 4 +U, 7 + U, 8 + U, 11 + U, 13 + U, 14 + U
Lieg ich da richtig, vielen vielen Dank nochmal für alles :)   ─   infomarvin 16.02.2021 um 22:14
Nein da muss man etwas verzweigter Denken
|Zm| = 8
2 aus U
8 : 2 = 4 (Langrange)
Jetzt muss man logisch kombinieren (wie das analog für Zm zu betrachten ist weiß ich nicht, wenn ich zB Z5 habe dann nehm ich ja genauso 1,2,3,4,0 als Repräsentanten, wobei 2,4 Vielfache von 1 sind, und man theoretisch dann nur 1 nehmen müssten - wie das Zusammenhängt, keine Ahnung)
Jedenfalls hät ich mir nach Lagrange das jetzt so hergeleitet, dass ich 2 * U nehme, und 7, 11, 13 und daraus die Faktorgruppe bilde   ─   infomarvin 17.02.2021 um 00:12
\(\Gamma\) und \(U\) hast du richtig berechnet.Berechne für die Faktorgruppen \(aU\) (da die Gruppe multiplikativ geschrieben wird, ist die Notation \(aU\) und nicht \(a+U\)) für alle \(a\in\Gamma\), z.B. \(1U=\{1\cdot1,1\cdot4\}=\{1,4\}\) und \(2U=\{2\cdot1,2\cdot8\}=\{2,8\}\). Dann erhälst du jede Menge doppelt, wähle einfach einen beliebigen Vertreter. Kannst du dann die Operationstafel dafür angeben?   ─   stal 17.02.2021 um 09:27
Also
1U {1,4} , 2U {2, 8}, 4U {4, 16}, 7U {7, 28}, 8U {8, 32}, 11U {11, 44}, 13U {13, 52}, 14U {14, 56} wären die Nebenklassen
Aber da jetzt auszuwählen, welche ist mein Problem, bzw das in irgendeiner Form zu erkennen
Aufjedenfall wäre die Faktorgruppe mit der Operationstafel ganz allgemein
U G/U => U * U = U, G/U * U = G/U, U * G/U = G/U, und G/U * G/U = ?
Steh bei dem Thema leider komplett an und habe es zu spät bemerkt   ─   infomarvin 17.02.2021 um 10:56
Da gibt es auch blöderweise keine Videos, die den Sinn dahinter erklären, ich stell es mir immer mit der Faktorgruppe Zm vor - und stoß daher wahrscheinlich immer auf Schwierigkeiten   ─   infomarvin 17.02.2021 um 11:02
Du musst auch in den Nebenklassen immer modulo 15 rechnen, also ist z.B. \(4U=\{4,16\}=\{1,4\}=1U\), die beiden Nebenklassen sind also gleich und du musst sie also in der Menge der Nebenklassen nur einmal aufführen. Für das Rechnen in Nebenklassen gilt \(aU\cdot bU=(ab)U\), also ist z.B. \(2U\cdot 11U=22U=7U\).   ─   stal 17.02.2021 um 11:04
Hab mir jetzt so Mühe gegeben, das schön aufzuschreiben, nur leider kann ich es nicht hochladen. Also das allgemeine Verfahren, ich Verknüpfe die Untergruppe mit den Elementen der Gruppelemente => Rechne mit der vererbten Operation (z.B. Modulo), dann sehe ich, welche doppelt vorkommen, die streiche ich und
1 * U = {4,1}, 2 * U {8,2 }, 4 * U {4,1}, 7 * U {13,7}, 8 * U {2, 8}, 11 * U {14,11}, 13*U {7,13}, 14 * U {11,14}
Dann bleibt übrig : 1 * U, 2 * U, 7 * U, 11 * U
Und dann verknüpft man quasi die Vertreter der Gruppe, und kontrolliert ob etwas modulo schon in der Form enthalten ist => (aber dann könnte man ja theoretisch auch sagen: 2 * 2 * 2* 2 = 1 (? ), auf jeden Fall jedoch ist 2 * 11 = 22, was dasselbe, wie 7 ist, und dadurch bleibt
1 * U, 2 * U, 7 * U
1 * U (ist quasi die neutrale Operation und daher = U = neutrale Element), dann bleiben noch 4 Felder => 2 * 2 * U = 4 * U, 7 * 2 * U = 14 * U, 7 * 2 U = 14 * U, 7 * 7 * U = 14 * U
Vielen, vielen Dank und vor allem danke für deine Geduld :)
   ─   infomarvin 17.02.2021 um 11:56
Genau, \(\Gamma/U=\{U,2U,7U,11U\}\) und für die Verknüpfungstafel musst du einfach alle \(4^2\) Produkte in eine Tabelle schreiben. Beachte, dass \(7U\cdot 7U=4U\neq14U\).   ─   stal 17.02.2021 um 12:01
Also ist 11 doch dabei? Habe den letzten Schritt eh nicht ganz verstanden.. dann würde auch gelten: Wenn ich U habe für modulo für U {5m} verschiebe es mit {0,1,2,3,4} 0 + 5m, 1 + 5m, 2 + 5m, 3 +5m, 4+5m (aus Z) (dann könnt ich genauso sagen 2 +4 = 6 = 1, und 4 streichen). Habe das offensichtlich falsch verstanden (du hast wahrscheinlich damit die Operationstafel gemeint). Wenn es eine Untergruppe mit Vielfachen ist, ist es ja fast schwieriger als die zweite Aufgabe. Aber wird schon, irgendwie, ich bewundere auf jeden Fall Menschen, die das alles derart beherrschen :/
Allerletzte Frage.: lt Langrange würde die Untergruppe, die Gruppe aber nicht teilen?
Ich bin auch der d.. Mensch, beim 1. Beispiel muss ich doch einfach nur alle Untergruppen mit + mit jedem Element der Gruppe verknüpfen (genauso bei *) und dann ergibt sich durch's Modulo Rechnen sowieso, welche Gruppen zusammengehören - ja da hilft mir das ganze Lernen nichts, wenn man den Kopf nicht benutzt....   ─   infomarvin 17.02.2021 um 12:12
In \(\Gamma/U\) darfst du nur die Nebenklassen "streichen", wenn du die exakt gleiche Menge schonmal hattest, wie z.B. bei \(U\) und \(4U\). Genau, die Multiplikation von Nebenklassen habe ich im Zusammenhang mit der Verknüpfungstafel angesprochen.
Es gilt \(|\Gamma|=8,|U|=2\) und \(2|8\). Das passt doch alles, oder?   ─   stal 17.02.2021 um 12:39
Ja 2 | 8 passt natürlich - weiß nicht, was ich mir da wieder gedacht habe
Ja ich muss mich über mich selber ärgern, das Wahrscheinlichkeitsbeispiel (mit den Büchern) ist unbestritten mehr als kompliziert bzw. trickreich, aber bei Beispielen, die eigentlich zu lösen sind, sich wie der erste Mensch anzustellen, ärgert mich
Deswegen nochmal vielen, vielen Dank für die Engelsgeduld :)
   ─   infomarvin 17.02.2021 um 12:43

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