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Wie bestimme ich von f(x) die Taylorreihe. Also wenn ich mir i=0 ansehe dann dividiert man durch 0....
Entwicklungsstelle wäre x0=0
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Am besten benutzt man hier die Taylorreihe von \( \cosh \), also
\( \cosh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \).
Dann erhält man sofort
\( \frac{1-\cosh(x)}{x^2} \) \( = \frac{1 - \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}}{x^2} \) \( = \frac{\sum_{n=1}^\infty - \frac{x^{2n}}{(2n)!}}{x^2} \) \( = \sum_{n=1}^\infty - \frac{x^{2n-2}}{(2n)!} \) \( = \sum_{n=0}^\infty - \frac{x^{2n}}{(2n+2)!} \).
Wegen der Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung muss dies dann schon die Taylorreihe von \( \frac{1-\cosh(x)}{x^2} \) sein.
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Danke :) wie sieht das bei ((e^x) -1 -x) / x^2 aus. Bzw. gibs da irgendeinen trick. Hab bisschen probiert und bekomm für e^x: summe von k=0 bis unendlich (x^k/k!) heraus...
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siebot
07.12.2020 um 18:24
Bei \( \frac{e^x -1 -x}{x^2} \) kann man genauso vorgehen. Als Taylorreihe der e-Funktion erhält man \( e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \). Und somit ist \( \frac{e^x -1 -x}{x^2} \) \( = \frac{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 -x }{x^2} \) \( = \frac{ \sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!} }{x^2} \) \( = \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{n!} \) \( = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+2)!} \).
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42
07.12.2020 um 18:34