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Hallo Zusammen

Ich hätte folgende Aufgabe

Sei \(Z\subset \mathbb{R}^n\) eine offene Menge, \(f_1,f_2:Z \rightarrow \mathbb{R}\) zwei stetige Funktionen. Zeigen Sie dass wenn \(f_1,f_2\) integrierbar sind und \(f_1 \leq f_2\), dann gilt \(\int_Z f_1(x)dx \leq \int_Z f_2(x) dx\)

Dabei wollte ich das wie folgt über die Riemannsche Summe machen, die wir als \(S(f_i,\Xi_{\Lambda_n})\) schreiben, wobei \(\Lambda_n\) eine Zerlegung von Z ist.
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das so machen darf, vorallem an dem punkt wo ich \(\Lambda_n^{(2)} = \Lambda_n^{(1)}\) gewählt habe. (Wenn das so richtig ist hätte ich zu Beginn auch einfach eine Zerlegung \(\Lambda_n\) wählen können, denn man integriert ja beide Funktionen über die gleiche Zelle, habe ich aber erst nachher bemerkt). Ich habe dies gemacht, da ich gleube, dass man sonst keine Aussagen über \(m(B)\) bzw. \(m(C)\) machen kann in der Riemanschen Summe. So dachte ich mir, wird \(m(B)= m(C)\) sein, und das garantiert mir die Abschätzung von \(\int_Z f_1(x)dx\) nach oben. Aber wie gesagt, ich bin mir da ziemlich unsicher da das Thema noch "frisch" ist und wäre froh wenn sich das jemand anschauen könnte.

Vielen Dank.

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Du darfst \(\Lambda_n^{(2)} = \Lambda_n^{(1)}\) schreiben, weil ja nach Annahme die beiden Funktionen integrierbar sind. Das heißt also egal wie das Gitter gewählt wird - wenn die Feinheit gegen \(0\) geht, geht die Riemann-Summe gegen den selben Wert. 

Allerdings hast du noch einen Fehler drin. Und zwar dürfen die \(\xi\)'s nicht unterschiedlich gewählt sein. Wieso? Weil sonst die gewünschte Ungleichung in der letzten Zeile nicht zwangsläufig gelten müsste. Die \(\xi\)'s müssen aber auch gar nicht unterschiedlich sein und zwar wieder wegen des Integrierbarkeits-Arguments.
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Hallo Vielen Dank für deine Antwort. Noch kurz zum Punkt mit den \(\xi\)'s. Wieso gilt das nicht für unterschiedliche \(\xi\)'s, denn per definition ist ja \(f_1(y)\leq f_2(y)\,\, \forall y\in Z \) und da ja \(B\subset Z\) ist spielt das doch gar keine Rolle ob die \(\xi\)'s gleich gewählt sind oder nicht?   ─   karate 22.05.2021 um 13:31

Nehmen wir mal das Beispiel \(f_1(x) = f_2(x) = x^2\) . Siehst du hier schon selbst wie die \(\xi\)'s gewählt werden könnten um der Ungleichung nicht mehr zu genügen?
Tipp: Wähle in allen bis auf einem Intervall alle \(\xi\)'s gleich und überleg dir in diesem einen Intervall (es ist egal welches Intervall du hierfür aussuchst) wie die \(\xi\)'s sehr ungünstig gewählt sein könnten.
  ─   b_schaub 22.05.2021 um 14:39

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