Hallo Zusammen

Ich hätte folgende Aufgabe

Sei \(Z\subset \mathbb{R}^n\) eine offene Menge, \(f_1,f_2:Z \rightarrow \mathbb{R}\) zwei stetige Funktionen. Zeigen Sie dass wenn \(f_1,f_2\) integrierbar sind und \(f_1 \leq f_2\), dann gilt \(\int_Z f_1(x)dx \leq \int_Z f_2(x) dx\)

Dabei wollte ich das wie folgt über die Riemannsche Summe machen, die wir als \(S(f_i,\Xi_{\Lambda_n})\) schreiben, wobei \(\Lambda_n\) eine Zerlegung von Z ist.
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das so machen darf, vorallem an dem punkt wo ich \(\Lambda_n^{(2)} = \Lambda_n^{(1)}\) gewählt habe. (Wenn das so richtig ist hätte ich zu Beginn auch einfach eine Zerlegung \(\Lambda_n\) wählen können, denn man integriert ja beide Funktionen über die gleiche Zelle, habe ich aber erst nachher bemerkt). Ich habe dies gemacht, da ich gleube, dass man sonst keine Aussagen über \(m(B)\) bzw. \(m(C)\) machen kann in der Riemanschen Summe. So dachte ich mir, wird \(m(B)= m(C)\) sein, und das garantiert mir die Abschätzung von \(\int_Z f_1(x)dx\) nach oben. Aber wie gesagt, ich bin mir da ziemlich unsicher da das Thema noch "frisch" ist und wäre froh wenn sich das jemand anschauen könnte.

Vielen Dank.