Hallo,

du nimmst 

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

an und \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\) sind deine ganzzahligen Vorfaktoren. Jetzt musst du versuchen die Variablen zu bestimmen, indem du Gleichungen aufstellst. Zwei Gleichungen sind durch Punkte gegeben, durch die deine Funktion gehen muss:

$$2=f(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d$$

$$0=f(-1)=a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+c\cdot(-1)+d=-a+b-c+d.$$

Aus der ersten Gleicung folgt direkt \(d=2\), was die Lösung bestätigt. Die zweite Gleichung kannst du dann umformen zu:

$$-a+b-c=-2,$$

indem du \(d=2\) einsetzt. Jetzt musst du noch wissen, was für einen Tiefpunkt und für einen Wendepunkt gilt. An einem Tiefpunkt ist die erste Ableitung Null, an einem Wendepunkt die zweite Ableitung. Die Ableitungen deiner allgemeinen Funktion sind:

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

$$f''(x)=6ax+2b$$

Wenn du jetzt den Tiefpunkt einsetzt, bekommst du:

$$0=f'(-1)=3a\cdot(-1)^2+2b\cdot(-1)+c=3a-2b+c$$

Wenn du den Wendepunkt einsetzt, bekommst du:

$$0=f''(0)=6a\cdot0+2b=2b$$

Somit folgt direkt \(b=0\). Die verbleibenden Gleichungen

$$-a+b-c=-2$$

$$0=3a-2b+c$$

bekommen somit die Form:

$$a+c=2$$

$$3a+c=0$$

Wenn du die erste von der zweiten Gleichung abziehst, bekommst du:

$$2a=-2$$

und somit \(a=-1\). Aus der oberen Gleichung folgt also direkt \(c=3\). 

Wenn du jetzt \(a=-1,b=0,c=3,d=2\) in 

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

einsetzt, folgt

$$f(x)=-x^3+3x+2$$

und du bist fertig! :)