Du hast eine schöne Pyramiden-Skizze gemacht. Die Höhe über der Grundseite a, also $h_a$ hast Du richtig berrechnet.
Um auf die Höhe $h$ der Pyramide zu kommen betrache das rechtwinklige Dreieck das Du in die Pyramide bereits eingezeichnet hast. Es hat die Seitenlängen $h_a$ (als Hypothenuse). Außerdem die beiden Katheten, eine davon mit der Länge h. Als letztes noch die Seite, die vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Seitenkante führt. Diese Seite hat die Länge $\tfrac{b}{2}$.
Mit Pythagoras ergibt sich daraus die Formel
$ \left( \tfrac{b}{2}\right)^2+h^2=h_a^2 $
bzw. umgestellt nach $h$:
$h=\sqrt{h_a^2-\left(\tfrac{b}{2}\right)^2}$