Extremwert zwischen X-Achse und Graph.

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Hallo Leute, 

ich habe eine sehr knifflige Aufgabe.

Funktion: -3/16x^3x+2,25x+3              (-3/16 ist ein bruch, dann x hoch3)

Die Aufgabenstellung lautet: Im ersten Quadraten soll unterhalb der Kurve ein achparalleles Dreieck mit einem Punkt im Ursprung entstehen. 

Zeichnen Sie zwei mögliche Dreiecke ein. 

Stellen Sie die Zielfunktion für ein solches Dreieck auf und weisen sie nach, das a= 2,7320516 das Dreieck seinen maximalen Flächeninhalt besitzt. 

Hat jemand eine Idee wie ich da anfangen soll oder noch besser gleich einen Lösungsvorschlag?

Vorab schon mal vielen und bleibt gesund! 

Graph siehe Foto:

gefragt

Punkte: 25

 

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Das ist nicht der Graph der Funktion , die du benannt hast. Überprüf das bitte nochmal . Dein Exponent lautet 302,,25 und es gibt kein x ^2 oder x , sondern nur den y Achsenabschnitt +3 . Da stimmt etwas nicht .   ─   markushasenb 08.04.2021 um 09:39

Danke dir, habs berichtigt.   ─   max99 08.04.2021 um 09:56

Da stimmt immer noch etwas nicht. Glaube so soll es aussehen, oder?

\(f(x)=-\frac{3}{16} x^{3}+2.25 x+3\)
  ─   enrico21 08.04.2021 um 10:02

Das x beim ersten Ausdruck/ Summanden im Exponenten ?   ─   markushasenb 08.04.2021 um 10:17

Ja das ist die Funktion. Weiß nicht wie ich das so schreiben kann   ─   max99 08.04.2021 um 10:31

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1 Antwort
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Ich gehe mal von der Formel aus:
\( f(x) = -\frac{3}{16}x^{3}+2.25{x}+3 \)

Dann willst du den maximalen Flächeninhalt eines achsparallelen Dreiecks berechnen.
Das Dreieck soll also zur X-, sowie Y-Achse parallel sein.
Der Flächeninhalt daraus ergibt sich durch \( g(x) = \frac{x* f(x)}{2} \) (Höhe * Breite / 2 => Dreiecksformel)

Also musst du die Extrempunkte von g(x) (bzw. genauer gesagt den Hochpunkt) bestimmen.

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Student, Punkte: 95
 

Ja genauso ist die Funktion. Weiß nur nicht wie ich die hier so schreiben kann. Wie kann ich da zwei Dreiecke reinmachen?   ─   max99 08.04.2021 um 10:30

Das geht mit \( \( f(x), \text{also in diese Klammern mit Backslash davor reinschreiben} \) \)

weitere Infos hier: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf

Eine Seite des Dreiecks muss parallel zur X-Achse und eine Seite parallel zur Y-Achse sein. Das heißt es sind nur rechtwinklige Dreiecke möglich.

z.B. könntest du ein Dreieck mit den Punkten A= (0,0), B=(2,0) und C=(2,6) einzeichnen
  ─   enrico21 08.04.2021 um 10:37

Danke dir. Der Flächeninhalt soll ja 2,732... sein.

x*y:2=2,732
dann *2 und wurzel ziehen?
  ─   max99 08.04.2021 um 10:52

Nein, der Flächeninhalt soll nicht 2,732.. sein. Für a = 2,732... soll der Flächeninhalt maximal sein. Ich gehe mal davon aus, dass in der Aufgabenstellung steht, dass dies der "rechte" Punkt des Dreiecks ist

Also nehm dir das oben beschriebene g(x) und leite es mit der Produktregel ab. Die Ableitung setzt du = 0 und schaust dann welche Extrempunkte du erhälst.
  ─   enrico21 08.04.2021 um 11:24

/(f(x) = x+f(x)/2 und die muss ich dann ableiten? Sorry wie geht denn das. Hab diese Jahr fast kein Mathe gehabt wegs Corona.   ─   max99 08.04.2021 um 13:02

Aber die Produktregel hattet ihr schon, oder?
Ich würde so vorgehen:

\( f(x) = -\frac{3}{16}x^{3}+2.25x+3 \)

Zielfunktion:
\( g(x) = \frac{x * f(x)}{2} \)
g(x) gibt uns an, wie groß die Fläche des Dreiecks zu einem bestimmten x ist.
Daher suchen wir Extrempunkte(bzw. den Hochpunkt) von g(x)
=> g(x)' = 0
= g(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten: g'(x) = (u'*v + u*v' ) / 2
\( u = x \\
u' = 1 \\
v = f(x) = -\frac{3}{16}x^{3}+2.25x+3 \\
v' = f'(x) = -\frac{9}{16}x^{2}+2.25 \\


g'(x) = \frac{1}{2}* (1 * -\frac{3}{16}x^{3}+2.25x+3 + x * -\frac{9}{16}x^{2}+2.25) \\
= \frac{1}{2}* (-\frac{3}{16}x^{3}+2.25x+3 -\frac{9}{16}x^{3}+2.25x) \\
= \frac{1}{2}* (-\frac{12}{16}x^{3}+4.5x+3) \\
= \frac{(-\frac{12}{16}x^{3}+4.5x+3)}{2} \\
= (-\frac{6}{16}x^{3}+2.25x+1.5)
\)

g'(x) = 0 nach x auflösen um Extrempunkte zu berechnen:
\(
-\frac{3}{8}x^{3}+2.25x+1.5 = 0
\)



  ─   enrico21 08.04.2021 um 13:30

Ich komm beim auflösen auf ganz komische Zahlen. 2,73205 und 6,24. Stimmt das? Wie würdest du das rechnen?   ─   max99 vor 6 Tagen, 7 Stunden

Es müsste folgendes rauskommen: -2, -0.732, 2.732

Diese "ganz komische" 2,732... ist genau die Zahl, die auch in der Aufgabe steht :) Du weißt jetzt also, dass an der Stelle x = 2,732... eine Extremstelle vorliegt.
Jetzt müsstest du diesen Wert noch in die 2. Ableitung einsetzen und wenn das Ergebnis < 0 ist, ist es ein Hochpunkt.
  ─   enrico21 vor 5 Tagen, 22 Stunden

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