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a) Zeigen Sie: Es gibt ein (x0, y0) eS^1 mit   x^4 + y0^4 <= x0^4 + y^4 für alle (x,y) eS^1.

b) Zeigen Sie, dass die Menge

                    A ={ (x,y) eR^2 : |y|^2 -3 <=|x|^3 <= arctan (1 + |x|^2 +y) }  nicht leer und kompakt ist.

c) Finden Sie in R mit der Metrik d(x,y) = |arctan(x) - arctan (y)| eine abgeschlossene und beschränkte Menge ist, die nicht kompakt ist.

Bei der a) komme ich mit dem x^4 +y0^4 <= x0^4 +y^4 nicht klar. Mit anderen Wortenb bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, wie ich vorangehen soll. Bei b) und c) meine ich auf den ersten Blick etwas probieren zu können, das kann aber sehr schnell fehlschlagen. Also beo c) könnte ich mir vorstellen, dass es sich um das Komplement einer Menge handelt?
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Hallo

Also zu a):
Bin gerade unterwegs und habe daher nicht viel Zeit mir Gedanken zu machen aber ich hätte das vielleicht mal versucht umzuschreiben, also $x^4+y_0^4\leq x_0^4+y^4$ ist äquivalent zu $x^4-y^4\leq x_0^4-y_0^4\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2)\leq (x_0^2+y_0^2)(x_0^2-y_0^2) $. Da nun diese Gleichung erfüllt sein muss für alle $(x,y)\in S^1$ und $(x_0,y_0)\in S^1$ liegen muss folgt, dass $x^2-y^2\leq x_0^2-y_0^2$. Nun könntest du vielleicht mal schauen was für offensichtliche Werte du für $x_0, y_0$ wählen kannst. Beachte nämlich dass $x^2+y^2=1$ das heisst $x^2-y^2\leq 1$.

Hilft das weiter?
  ─   karate 15.05.2022 um 17:23

Ich denke, dass ich jetzt schon Mal ein Anfang. Ich würde gerne schneller voran kommen, aber vielleicht kommt das ja mit der Übung.   ─   atideva 15.05.2022 um 19:43

Übung kommt vor allem durch Ausprobieren. Also probiere das, was du bei b) und c) denkst, ruhig aus.   ─   cauchy 15.05.2022 um 19:47

@atideva hast du denn nun eine Lösung für a) bekommen?
  ─   karate 15.05.2022 um 19:52

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Noch nicht, ich bin jetzt grade dabei etwas Fernsehen zu schauen nach der NRW Wahl. Ich wohne ja in Köln. Und zwischendurch brauch ich einfach eine Pause. Ich werde wohl ab 8 Uhr abends weiter machen. Aber die Nachfrage find von dir find ich schon toll.   ─   atideva 15.05.2022 um 19:58

was mir jetzt nicht klar ist x^4 + y0^4<=x0^4 + y0^4 <=> x^4 - y0^4<=x4 - y0^4 sowie Eingangs |x|^2 + |y|^2 =1 und x^2 + y^2 = 1 . Das wir wohl beides der Einheitskreis sein, aber mir ist es leider nicht klar.   ─   atideva 16.05.2022 um 17:32

Das erste ist einfach nur Umstellen und das zweite folgt aus der Tatsache, dass ein Minus beim Quadrieren wegfällt.   ─   cauchy 16.05.2022 um 17:48

Beim ersten Umformen stand bei mir y0^4 - x0^4<= x^4 - y^4 , bei der zweiten Umformung war es dann genau anders. Wenn es auch doof klingt, warum war die erste Umformung genau falsch.   ─   atideva 16.05.2022 um 18:53

ich habe noch was vergessen. Was mir immer noch nicht klar ist, ist diese Sache mit dem Einheitskreis und die Tatsache, dass |x|^2 + |y|^2 = 1 und x^2 + y^2 = 1 ist.   ─   atideva 16.05.2022 um 19:00

Hallo, schau dir nochmals deine Umformung an. Du behauptest dass du $y_0^4-x_0^4\leq x^4-y^2$ bekommst, das stimmt nicht ganz, aber natürlich kannst du das auch anders umformen, nur bringt dir das nicht so viel bzw. ich habe meine Umformung direkt gesehen.

nun zu deiner zweiten Frage. Beweise bitte mal dass $|x|^2=x^2$ für alle $x\in \Bbb{R}$. wenn du das hinbekommst weisst du auch wieso die Gleichungen äquivalent sind.
Ich hoffe das ist nun klar.
  ─   karate 16.05.2022 um 21:32

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Zu zeigen, dass $|x|^2=x^2$ für alle reellen Zahlen gilt, sollte man als Übung überlassen. Hier scheinen sowieso recht viele mathematische Grundlagen und Ideen zu fehlen. Da kommt man aber hin, wenn man sich einfach mal Gedanken macht und darüber nachdenkt.   ─   cauchy 16.05.2022 um 21:47

Das ist mir selbst klar, dass vieles wegen mangelnder Übung und fehlender Erinnerung fehlt, warum würde ich auch sonst so fragen?.   ─   atideva 17.05.2022 um 06:05

Ich mache dieses Studium deswegen, weil es vor über 30 Jahren mit 35 Jahren aus privaten Gründen nicht funktioniert hat und ich es soweit es mir irgend möglich ist auch durchziehen werde. Da müsste eventuell der Kölner Dom auf dem Kopf stehen, oder sonst etwas nicht vorstellbares passieren, bevor ich das aufgeben würde, und es ist ja nicht davon auszugehen, dass das mit dem Dom passiert.   ─   atideva 17.05.2022 um 06:19

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Als ich Mitte der 80 er Jahre in Köln eine Vorlesung Ana 3 mitmachte, war ich davon fasziniert, ohne natürlich zu wissen, was sich da eigentlich abspielte. 2018 habe ich dann mit Ana 2 Vorlesungen begonnen und mir war klar, daß das machbar ist. Vom integrieren wusste ich allerdings nichts mehr und der Logarithmus war mir ebenso fremd, wie vielleicht die chinesische Sprache, allerdings wäre es mir viel zu peinlich gewesen jemand danach zu fragen. Und obwohl ich immer wieder Videos darüber gesehen hatte und mir diese und auch andere Definitionen immer und immer wieder angesehen hatte und mir darüber vielfältige Gedanken machte kam ich nicht zum erwünschten Ziel. Ich koñnte nun durch praktische Verlagerung meines Mathe Studiums nach Köln, formal ist es noch an der Fernuni vieles voranbringen. Aber um es mit Heinz Rühmann zu sagen, den vielleicht der eine oder andere noch kennt, Die Wege des Herrn sind unergründlich, doch sie führen immer zum Ziel. Erstmal noch einen schönen Tag.   ─   atideva 17.05.2022 um 07:42

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Bei mangelnder Übung und fehlender Erinnerung (wer kennt das nicht?) können wir eben NICHT helfen. Übung kann man nur sich selbst aneignen und fehlende Erinnerung behebt man durch Nachschlagen (eigene Unterlagen, Internet,...).
Wo wir helfen können ist beim Verständnis von Begriffen, aber nur wenn die Grundbegriffe dazu bekannt sind.
  ─   mikn 17.05.2022 um 12:56

Das ist eben eine Meinung, ich habe das online auch schon anders erlebt.   ─   atideva 17.05.2022 um 18:30

@atideva sorry hab ein wenig den Überblick verloren über das Ganze un hab ehrlich gesagt auch nicht alles durchgelesen. Gibt es nun noch mathematische Fragen die du geklärt haben möchtest bezüglich dieser Aufgabe?   ─   karate 17.05.2022 um 18:32

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Danke für Deine Rückmeldung. Aktuell noch nicht.   ─   atideva 17.05.2022 um 18:35
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