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In einem Video namens "Exponentialfunktionen allgemein ableiten, y=a^x | Mathe by Daniel Jung" wurde am Ende bei der Herleitung bei der Äquivalenzumformung " | e^..." gemacht.
Mein Frage ist nun, warum genau darf man das machen, kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank schonmal im vorraus
LG
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gefragt
semih1ne
Schüler, Punkte: 10
Schüler, Punkte: 10
Welcher Schritt der Äquivalenzumformung genau ist unverständlich?
─
maccheroni_konstante
10.11.2019 um 17:58
also da wurde erst y = a^x logarithmiert -> ln(y) = ln(a^x)
und durch | e^... erhält man dann
y = e^ln(a)*x
Ich hab das im Grunde verstanden, aber wieso darf man da e^... machen. ─ semih1ne 10.11.2019 um 21:19
und durch | e^... erhält man dann
y = e^ln(a)*x
Ich hab das im Grunde verstanden, aber wieso darf man da e^... machen. ─ semih1ne 10.11.2019 um 21:19
Weil die natürliche Exponentialfunktion die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus darstellt.
\(\ln(e^x) = e^{\ln(x)} = x\) ─ maccheroni_konstante 10.11.2019 um 22:09
\(\ln(e^x) = e^{\ln(x)} = x\) ─ maccheroni_konstante 10.11.2019 um 22:09
Hallo,
beantwortet das die Frage? Oder meinst du vielleicht warum er die Gleichung in die Potenz von \( e \) heben durfte?
Aus dem selben Grund warum wir auch den Logarithmus anwenden dürfen.
Nehmen wir mal eine einfache Gleichung
$$ 2 = 1+ 1 $$
und nehmen uns mal eine Funktion
$$ f(x) = x^2 $$
Wenn wir jetzt \( 2 \) in diese Funktion einsetzen, erhalten wir
$$ f(2) = 2^2 = 4 $$
Nu machen wir das selbe mit \( 1+1 \)
$$ f(1+1) = (1+1)^2 = 4 $$
Wenn wir also einen gleichwertigen Ausdruck in eine Funktion einsetzen, dann müssen wir auch den selben Funktionswert erhalten.
Nun sind der Logarithmus oder die Exponentialfunktion auch nur Funktionen
$$ g(x) = e^x \\ h(x) = \ln(x) $$
Wenn wir nun eine Seite einer Gleichung einsetzen, müssen wir den selben Funktionswert erhalten, wie wenn wir die andere Seite einsetzen.
Nehmen wir deine Gleichung
$$ y = a^x $$
Setzen wir beide Seiten einzeln in die Logarithmusfunktion ein, erhalten wir
$$ h(y) = \ln(y) \\ \text{und} \\ h(a^x) = \ln(a^{x}) $$
Da beide Ausdrücke gleich waren, müssen die Funktionswerte gleich sein, also
$$ \ln(y) = \ln(a^x) $$
Das selbe können wir nun mit der Exponentialfunktion machen, indem wir sagen, das wir \( h(y) \) und \( h(a^x) \) einsetzen, also erhalten wir
$$ g(h(y)) = e^{\ln(y)} \\ \text{und} \\ g(h(a^x)) = e^{\ln(a^x)} $$
Diese Funktionswerte müssen wieder gleich sein und wir erhalten deine Gleichung.
Das einsetzen in eine Funktion ist also eine Äquivalenzumformung.
Grüße Christian ─ christian_strack 11.11.2019 um 20:26
beantwortet das die Frage? Oder meinst du vielleicht warum er die Gleichung in die Potenz von \( e \) heben durfte?
Aus dem selben Grund warum wir auch den Logarithmus anwenden dürfen.
Nehmen wir mal eine einfache Gleichung
$$ 2 = 1+ 1 $$
und nehmen uns mal eine Funktion
$$ f(x) = x^2 $$
Wenn wir jetzt \( 2 \) in diese Funktion einsetzen, erhalten wir
$$ f(2) = 2^2 = 4 $$
Nu machen wir das selbe mit \( 1+1 \)
$$ f(1+1) = (1+1)^2 = 4 $$
Wenn wir also einen gleichwertigen Ausdruck in eine Funktion einsetzen, dann müssen wir auch den selben Funktionswert erhalten.
Nun sind der Logarithmus oder die Exponentialfunktion auch nur Funktionen
$$ g(x) = e^x \\ h(x) = \ln(x) $$
Wenn wir nun eine Seite einer Gleichung einsetzen, müssen wir den selben Funktionswert erhalten, wie wenn wir die andere Seite einsetzen.
Nehmen wir deine Gleichung
$$ y = a^x $$
Setzen wir beide Seiten einzeln in die Logarithmusfunktion ein, erhalten wir
$$ h(y) = \ln(y) \\ \text{und} \\ h(a^x) = \ln(a^{x}) $$
Da beide Ausdrücke gleich waren, müssen die Funktionswerte gleich sein, also
$$ \ln(y) = \ln(a^x) $$
Das selbe können wir nun mit der Exponentialfunktion machen, indem wir sagen, das wir \( h(y) \) und \( h(a^x) \) einsetzen, also erhalten wir
$$ g(h(y)) = e^{\ln(y)} \\ \text{und} \\ g(h(a^x)) = e^{\ln(a^x)} $$
Diese Funktionswerte müssen wieder gleich sein und wir erhalten deine Gleichung.
Das einsetzen in eine Funktion ist also eine Äquivalenzumformung.
Grüße Christian ─ christian_strack 11.11.2019 um 20:26