ja, alles gut. Fast perfekt, Schönheitsfehler:

Bei II sollte nur stehen: a_n = 2^n -1 gelte für ein n. Die Rekursionsformel gehört da nicht hin, die ist ja vorgegeben.

Bei III sollte nur stehen: Zu zeigen: a_(n+1) = 2^(n+1)-1.     (denn über das n ist ja schon in II alles gesagt).

Die zwei Äquivalenzzeichen unten bitte streichen. Da ist nichts äquivalent. Du hast eine schöne Gleichungskette, das ist optimal aufgeschrieben.

Und man sagt nicht: Es gilt a_n. Das macht keinen Sinn, gelten tun Aussagen (z.B. Gleichungen). a_n alleine kann ja nicht wahr oder falsch sein.