Basis einer Linearen Abbildung bestimmen

Aufrufe: 94     Aktiv: 14.12.2021 um 22:27

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Ich soll für diesen Vektorraum eine Basis bestimmen. 

Die ganzen Infos sind mir aber noch nicht ganz klar.
1. Was ist mit RR^3/Kern f gemeint? Für die Differenzmenge müsste der Strich ja umgekehrt sein.
2. Was ist eine Lineare Fortsetzung? Noch nie den Begriff gehört. 

Also f(e_1 ) = f((1,0,0)) = (3,1) usw. 
Ich weiß aber auch nicht ganz, wie ich ein Erzeugendensystem davon bilden soll, also ich muss ja eine Teilmenge von RR^3 (?) finden, die die Definition erfüllt oder?
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Okay danke schonmal.
Könnte mir noch jemand etwas helfen, beim bilden der Basis vom Kernf? Den Rest würde ich dann hinbekommen.
Ich glaub, dass man Kernf irgendwie Injektiv machen muss, damit nur kernf = 0 gilt.
Aber bin noch irgendwie bisschen planlos
  ─   user1312000 14.12.2021 um 22:01
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2 Antworten
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Zum Quotientenvektorraum: Das ist sicherlich in der Vorlesung bzw. Unterlagen dazu definiert und erklärt worden. Da schaut man als erstes nach. Ansonsten hilft meist auch wikipedia, wo es ganz gut erklärt ist. Aber die Schreibweisen in Deiner Vorlesung können andere sein.
Zur linearen Fortsetzung: Von der lin. Abb. sind ja nur drei Funktionswerte angegeben. Mit der Zusatzbedingung "linear" ist aber klar, dass es genau eine lineare Abb. auf R^3 gibt, die diese Bedingungen (geg. drei Werte, linear) erfüllt. Die Abb. ist dann von den drei Einheitsvektoren auf ganz R^3 fortgesetzt und wird die lineare Fortsetzung genannt.
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Das planlose kommt, weil Du die Begriffe nicht klar hast. Es gibt keine "Basis einer lin. Abb.", es gibt keinen injektiven kern(f). Und kern(f) macht man nicht zu was auch immer, weil er fest durch f gegeben ist. Wenn Du die Begriffe klar hast, geht die Planlosigkeit auch weg.
Rechne kern(f) aus, das ist die Lösungsmenge eines LGS. Es hilft zunächst die Matrix zu f aufzustellen.
  ─   mikn 14.12.2021 um 22:23

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hallo also ich nehme an mit $\mathbb{R}^3/ker(f)$ ist der quotientenvektorraum gemeint. Habe nicht die Zeit mich jetzt gerade hineinzudenken aber so auf die Schnelle würde ich sagen musst du zuerst einmal $ker(f)$ bestimmen (da brauchst du dass f linear ist), und dann erhältst du irgend eine Menge/Erzeugendensystem des Kern mit dem du dann den Quotientenvektorraum bestimmen kannst, dann solltest du ziemlich schnell sehen was eine basis für diesen Raum ist.

Wenn etwas nicht klar ist schreib einfach mal hinein was du dir überlegt hast und ich kanns mir in einer freien Minute anschauen oder andere Forenmittglieder helfen dir sicherlich auch gerne sobald du einen Lösungsansatz hast.
 
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wie @mikn schon gesagt hat, schau dir die Definition des Kern an in diesem Fall, dann erhältst du ein Gleichungsystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, die du dann so umstellen kannst, dass du alle 3 Unbekannten von einer abhängig machen kannst, dann hast du deine Basis.
  ─   karate 14.12.2021 um 22:27

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