Beweis: Eigenvektor von zwei Matrizen A und B auch Eigenvektor von A+B?

Erste Frage Aufrufe: 169     Aktiv: 17.04.2022 um 21:32

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Hallo, 
meine Aufgabe ist es, folgenden Beweis zu zeigen:
"Wenn v ∈ R^n ein Eigenvektor von zwei Matrizen A, B ∈ R^(n×n) ist, dann ist v auch ein Eigenvektor von A + B."

Ich weiß, dass v ein Eigenvektor ist, wenn folgendes gilt: Av= λv ⇔ (A-λI)v=0. Das gleiche gilt natürlich entsprechend für B. 
Ich bin nur nicht sicher wie bzw. wo ich anfangen soll. 

Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar. 

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Multipliziere doch mal \((A+B)v\) und rechne ein bisschen weiter, es ist nicht schwer.
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Student, Punkte: 8.17K

 

Dann komme ich so weit: (A+B)v = A*v+ B*v = λa*v + λb*v = (λa+ λb)v. Ist das so richtig?   ─   user5be854 13.04.2022 um 11:17

Ja, sehr gut!   ─   mathejean 13.04.2022 um 11:20

Oh super Danke! Dann war das ja doch viel leichter als ich dachte :)   ─   user5be854 13.04.2022 um 11:23

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Ja, viele Resultate aus der linearen Algebra sind einfach nur Schreibarbeit. Wenn du viel bewiesen hast, wirst du das auch merken.   ─   mathejean 13.04.2022 um 11:27

Hi, ich verstehe nicht, was das bewiesen hat? Man hat doch jetzt nur das zu beweisende Ergebnis bzw. die Vermutung ausmultipliziert. Aber die Gleichung zeigt mir nicht, dass v ein Eigenvektor beider Matrizen ist.

Müsste man nicht aus einem Mix von A*v = λa*v und B*v = λb*v zu (A+B)*v =... kommen?
  ─   kunzka 17.04.2022 um 20:46

Das ist doch genau das, was oben gemacht wurde. Es wurde ja ausgerechnet, was $(A+B)v$ ist und dafür wurde ausgenutzt, dass $v$ ein Eigenvektor von $A$ und $B$ ist.   ─   cauchy 17.04.2022 um 21:32

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