Moin Sarah.

Die Integrale sind in der Tat nicht trivial. Dennoch kriegt man sie natürlich gelöst.

\((b)\) Dieses Integral kannst du, aufgrund der Linearität der Integrale, auseinander ziehen: \(\displaystyle \int_1^4\dfrac{1}{\sqrt{2x}}dx+\displaystyle\int_1^4\dfrac{5}{x^2}dx\). Nun kannst du die Integrale einzeln berechnen. Dazu musst du die Terme nur noch in Potenzschreibweise überführen, also: \(\displaystyle \int_1^4\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}dx+\displaystyle\int_1^45\cdot x^{-2}dx\). Das kannst du jetzt integrieren. Es gilt: \(\displaystyle\int a\cdot x^b dx=\dfrac{a}{b+1}\cdot x^{b+1}\)

\((c)\) Hier musst du partielle Integration zwei mal anwenden. Dann ensteht ein Term in der Form: \(\displaystyle\int e^{-3x}\cos(4x)dx=f(x)+a\cdot \displaystyle\int e^{-3x}\cos(4x)dx\). Du kannst dann das Integral von der rechten Seite mit dem von der linken Seite zusammenfassen und musst dann nur noch durch den Vorfaktor teilen. Dann hast du die Stammfunktion und musst nur noch die Integralgrenzen einsetzen.

\((d)\) Dieses Integral ist gut lösbar durch Substitution von \(u=\sqrt{4x}=2\sqrt{x}\)

\((e)\) Das lässt sich möglicherweise über Symmtrie-Überlegungen lösen, da habe ich aber auch keinen richtigen Ansatz.

\((f)\) Das Stichwort hier ist Partialbruchzerlegung. Schonmal als Tipp: der Nenner lässt sich faktorisieren: \(-2x^2-10x-8=-2(x+2)(x+4)\)

Grüße