Moin,

eine Äquivalenz $$P \iff Q$$von Aussagen bedeuted, dass P Q impliziert und andersherum. Also z.B. bei
(a) sind die Aussagen $P:(a^2<b^2)$ und $Q:(|a|<|b|)$. Wir wollen also zeigen, dass $P \implies Q$ und $Q \implies P$. Nehmen wir also zuerst an, dass P richtig ist. Dann könen wir die Wurzel von beiden Seiten nehmen (und weil die Wurzelfunktion monoton ist, dreht sich das < nicht um):$$\sqrt{a^2}<\sqrt{b^2}$$Per Definition also $$|a|<|b|$$und es gilt Aussage Q. Also haben wir $P \implies Q$ gezeigt. Jetzt macht man analog $Q\implies P$.

So geht man für alle Aufgabenteile (a)-(c) vor.
Bei Aufgabe (d)-(h) soll man einfache Ungleichungen zeigen. Zur Illustration hier (d): 
Es gilt $(a+b)^2\ge 0$ und $(a-b)^2\ge 0 $, also $a^2+2ab+b^2\ge 0$ und $a^2-2ab+b^2\ge 0$. Stellt man jetzt je die quadratischen Terme auf eine Seite erhält man $$2ab\le a^2+b^2$$bzw. $$-2ab\le a^2+b^2$$Also zusammen $$2|ab|\le a^2+b^2$$
LG