Matrix finden, deren Determinante = 0 ist.

Aufrufe: 345     Aktiv: 19.09.2023 um 20:48

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Hallöchen, die Aufgabe ist folgende:

  • Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix A ∈ M22(R), deren Einträge alle ̸= 0 sind, und die nicht invertierbar ist. Wie in der Mathematik üblich, müssen Sie begründen, warum A nicht invertierbar sein kann.
Ich weiß, dass eine Matrix nur dann invertierbar ist, wenn sie quadratisch und die Determinante /=0 ist.
Die Lösung der Aufgabe ist allerdings nicht das Problem, das habe ich bereits:
  • Als Matrix A nehme ich (( 1 2) (1 2)). Um zu beweisen, dass A nicht invertierbar ist, nehme ich trotzdem an, dass sie es ist und rechne
    ((1 2) (1 2))((a b)(c d)) = ((a+2b b+2d)(a+2b b+2d) = ((1 0)(0 1)). Das kann nicht stimmen, da die letzten beiden Matrizen suggerieren, dass die Gleichung a+2b sowohl die Lösung 1 als auch 0 hat und das ein Widerspruch ist.
  • Die Matrix A habe ich mit dem Wissen bestimmt, dass die Determinante det(A)=a*d-c*b=0 ergeben muss und dann quasi einfach zahlen gefunden, die det(A)=0 ergeben.
Mein Problem ist, dass in meinen Unterlagen zum Kurs keinmal das Wort "Determinante" fällt und diese Vorraussetzung für Invertierbare Matrizen gar nicht genannt wird. Wie soll ich denn überhaupt Matrix A finden, ohne das zu wissen? Obwohl die Aufgabe bereits erfüllt ist, möchte ich trotzdem wissen, wie man das ganze lösen soll, wenn man nur das Wissen aus dem Kurs hat. Raten?
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Man hätte einfach nur eine Matrix angeben müssen mit linear abhängigen Zeilen oder splaten. Vielleicht findest du in Unterlagen: Matrix invertierter gdw voller rang
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Student, Punkte: 10.87K

 

Nein, da finde ich nichts. Ist im Prinzip auch egal, gelöst ist es ja :)   ─   kloinerrechner 19.09.2023 um 20:09

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Nutze eben die Definition der inversen Matrix: Eine Matrix ist invertierbar, wenn es eine Matrix $B$ gibt mit $AB=I=BA$, wobei $I$ die passende Einheitsmatrix ist. Mit Probieren findet man da auch schnell etwas.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Sorry, das verstehe ich nicht. Also im Prinzip, ja, dann hätte ich (wenn ich ausschließlich Zugriff auf meine Unterlagen habe) raten müssen?   ─   kloinerrechner 19.09.2023 um 20:06

Du kennst die Definition einer inversen Matrix nicht?

Bei Anfängervorlesungen reicht in der Regel das, was im Skript steht. Was da zu inversen Matrizen alles drin steht, wissen wir aber nicht. Raten muss man nicht, wenn man gewisse Eigenschaften kennt.
  ─   cauchy 19.09.2023 um 20:48

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