Differentialgleichungssystem mit doppeltem Eigenwert

Aufrufe: 103     Aktiv: 07.11.2022 um 16:11

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Hallo zusammen,

wir sollen die allgemeine Lösung eines Differentialgleichungssystem bilden.

Nun stoße ich aber mit vom Professor bereitgestellten Formeln auf ein Problem.

Falls wir zu wenig EW/EV haben müssen wir mittels dieser Formel  den Lösungsvektor berechnen.

Und dann mittels dieser Formel  die dritte Fundamentallösung herausbekommen.

Wenn ich jetzt mittels Lösungsvektor die eben genannte dritte Fundamentallösung machen will kommt für u=0 raus. Weil (A-LambdaI)² ja auch null ergibt. 

Wo hab ich hier einen Fehler gemacht, oder gibt es eine bessere oder ist diese Herangehensweise sogar falsch?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

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Erstmal gibt es keine 3. FLen, sondern nur insgesamt 2.
Es geht also um die Berechnung der zweiten.
Letztlich geht es dabei um eine Transformation auf Jordan Normalform bzw. die Berechnung der Hauptvektoren. Die Matrix ist aber schon in JNF, daher kann man die Vektoren gleich ablesen (aus der Einheitsmatrix).
Du kannst aber auch stur Deinem Weg folgen, führt auch auf das richtige. Dann muss aber das richtige $u$ wählen. $u=0$ geht ja immer, führt auch zu einer Lösung, aber einer uninteressanten (die man schon vorher kennt). $u$ muss lin. unabh. zum ersten EV gewählt werden, dann klappt alles.

Und davon abgesehen: Das ist ein entkoppeltes lin. DGL-System, das löst man am schnellsten ohne Matrizenrechnung, indem man aus der 2. Gleichung die Lösung $x_2$ bestimmt, die in die 1. Gl. einsetzt und dann nur noch eine 1d-lin.Dgl für $x_1$ zu lösen hat.
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Danke schonmal für die bereits sehr ausführliche Antwort.
Stimmt, da hab ich mich natürlich verschrieben. Es geht um den 2. War gedanklich noch bei einer anderen Aufgabe.

Wir haben leider nichts von der Jordan Normalform gelernt bzw wie man die Hauptvektoren daraus lesen kann.
Also kann ich mir irgendein lin. unabh. u schnappen und dann mittels der 2 Formel den 2. Eigenvektor berechnen?

Ebenso haben wir nichts von entkoppelten lin. DGL-Systemen gelernt, klingt natürlich am einfachsten, wie man da genau vorgeht weiß ich leider nicht. :/
  ─   anonym984ab 07.11.2022 um 15:52

Ja, irgendeinen lin.unabh.
Und wieso sagst Du, Du wüsstest nicht, wie man bei entkoppelten DGL-Systemen vorgeht, wo ich es Dir gerade erklärt habe?! Verstehe ich nicht.
Bestimme die Lösung auch auf diesem schnelleren Weg, zur Kontrolle.

Es ist wie bei lin. Gls. in Dreieckssystemen, die löst man auch durch sukzessives Auflösen und Einsetzen.
  ─   mikn 07.11.2022 um 16:11

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