Hallo noobx1,
Beim assymptotischen Verhalten näher sich eine Kurve immer mehr an eine Assymptote an erreicht diese aber nie. Bei der normalen e Funktion, also e^x haben wir wenn wir nach links schauen, also gegen (- unendlich) ein assymptotisches Verhalten mit der Assymptote y = 0 (die Assymptote kann bildlich als Gerade auf der x- Achse gedacht werden.) Daraus schließen wir, dass sich die e Funktion für x gegen - unendlich immer mehr der x- Achse annähert, sie aber nie berühren wird.

in Richtung + unendlich wächst die e-Funktion immer schneller an, das heißt die Steigung nimmt zu und die Kurve wird immer steiler. Dieses Verhalten wird exponentiell genannt. Um das zu verdeutlichen ein typisches Beispiel vom Schachspielen. Dort wird auf das erste Feld ein Reiskorn gelegt und auf jedes weitere jeweils das doppelte vom vorherigen. Wir erhalten 2,4,8,16,32,64,128,256... 

Gerne dürfen andere die beiden Begriffe besser erklären.

Um das bei der Aufgabe zu erkennen ist es eigentlich notwenig die e-Funktion zu kennen. Dann siehst du noch, dass die e Funktion um den Faktor 1/2 in y-Richtung gestaucht wurde, was auf das assymptotische und exponentielle Verhalten aber gegen -/+ unendlich keinen Einfluss hat. Außerdem steht in der Potenz + 1, was eine Verschiebung auf der x- Achse bedeutet und deswegen auch nicht weiter einflussreich auf das Verhalten gegen -/+ unendlich ist. Nun bleibt nur noch das -x und das - hat hier tatsächlich einen Einfluss. Und zwar wenn du z.B. -5 einsetzt wird daraus eine 5 und wenn du 7 einsetzt daraus eine -7 bevor es auf die e-Funktion losgelassen wird. Also folglich wird einmal an der x- Achse gespiegelt weshalb wir nun für x gegen - unendlich das exponentielle und für x gegen unendlich das assymptotische Verhalten haben. 

Das war viel Text ich hoffe ein paar Sachen helfen dir.
LG Matthias