Komplexe Zahlen Nullstellen

Aufrufe: 82     Aktiv: 15.04.2021 um 01:09

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Hallo, 
undzwar muss ich für folgende Gleichungen die Nullstellen herausfinden:
a) z^4+z^2-2=0
b) z^3-2z^2-3z+10

Ich glaube dass ich bei a mit Subsitution arbeiten muss und bei b mit Polynomdivision. 
Bei a kam ich jedoch nicht auf logische Werte. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Ich benötige nicht nur die Lösung sondern auch den Lösungsweg zum Verständnis. 
Vielen lieben Dank!
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gefragt

Schüler, Punkte: 8

 

Bei der a lässt sich ja z.B eine Nullstelle ganz einfach raten. Da könnte man Polynomdivision ausprobieren :D   ─   finn2000 14.04.2021 um 23:51

Ist z eigentlich reel oder komplex. Weil im Titel steht ja C jedoch kam das in der Aufgabe nicht mehr vor deswegen dachte ich zuerst das wir uns in R bewegen,   ─   finn2000 14.04.2021 um 23:53

Bei der a) habe ich jetzt mit Hilfe der Substitution x=z^2 für x1=1 und x2=-2. Dann wieder zurück substituiert. Für z12= -1, +1 und z34= j * wurzel 2, -j wurzel 2. Wäre das auch möglich?   ─   jinane 14.04.2021 um 23:55

z ist komplex   ─   jinane 14.04.2021 um 23:55

Bei der b) wollte ich polynomdivision anwenden,aber unser Prof hat das für die komplexen Zahlen gar nicht erklärt. Deshalb weiss ich nicht wie ich beginnen soll.   ─   jinane 14.04.2021 um 23:59

Ist j bei euch die imaginäre Einheit?   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:01

Genau j ist die imaginäre Einheit bei uns   ─   jinane 15.04.2021 um 00:01

Dann sieht das gut aus :D. Glaube sogar eleganter als mit Poly anzufangen.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:02

Das ist ja dann schon mal eine gute Nachricht :) Aber wie gehe ich bei der b vor? Da muss ich ja mit der Polynomdivision rechnen   ─   jinane 15.04.2021 um 00:04

Ja wäre auch meine Idee gewesen. Probiere mal 1,2,3 als Nullstellen aus und auch noch die negativen Werte davon. Wenn man schon Nullstellen raten muss sind diese meistens nicht allzu schwer.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:06

Wenn du eine gefunden hast dann einfach mit Poly beginnen.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:06

Ach ich habe etwas Wichtiges vergessen. Entschuldigung. Wir haben bereits eine Nullstelle bekannt, undzwar z=2+j   ─   jinane 15.04.2021 um 00:07

Das habe ich vergessen zu erwähnen. Nur jetzt muss ich doch schreiben
(z^3 -2z^2-3z+10) : (2+j). Und jetzt weiss ich nicht wie ich mit der komplexen zahlen umgehen soll :(
  ─   jinane 15.04.2021 um 00:08

Es ist ja z und nicht j
  ─   finn2000 15.04.2021 um 00:11

Die Aufgabe lautet folgend: Gegeben ist das folgende komplexwertige Polynom mit reellen Koeffizienten: P(z) = z^3 -2z^2-3z+10. Zeigen Sie dass z1 = 2+J eine Nullstelle des Polynoms ist und berechnen Sie sämtliche Nullstellen des Polynoms   ─   jinane 15.04.2021 um 00:11

Du kannst also einfach mal darauf losrechnen und außer acht lassen dass z komplex ist   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:11

Soll ich das j nicht beachten?   ─   jinane 15.04.2021 um 00:12

Ok verstehe. Also du kannst einfach auch die reele Nullstelle -2 erraten. So hab ich es zumindest gemacht sann hast du das Problem welches du beschrieben hast nicht. Seperat zu zeigen dass 2 + j eine Nullstelle ist sollte kein Problem darstellen   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:13

Aber ich schau mal nach was Polynomdivision mit komplexen Zahlen an sich hat   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:13

Ne also schon. Aber wenn du die dein Polynom anschaust gibt es eine reele Nullstelle und die ist wie es der Zufall will halt -2   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:15

Also ich muss sagen, dass unser Prof echt nicht gut erklären kann. Deshalb versuche ich mir alles durch Youtube Videos zu erklären. So habe ich Mathe 1 auch echt gut geschafft. Nur jetzt gerade bin ich etwas durcheinander weil ich dazu kein geeignetes Video finde. Aber wenn das zu viel Zeit für dich in Anspruch nimmt ist das auch völlig in Ordnung. Dann probiere ich es alleine halt.   ─   jinane 15.04.2021 um 00:17

Mein Ansatz poste ich mal als bild unten   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:18

Ist es die einzige Möglichkeit durch das Raten auf eine Nullstelle wie -2 zu kommen? Oder gibt es auch noch eine rechmerische Möglichkeit?   ─   jinane 15.04.2021 um 00:18

Alles klar. Ich gebe mein Bestes. Vielen Dank!   ─   jinane 15.04.2021 um 00:19

Du konntest wahrscheinlich über numerische Verfahren dich einer Lösung annähern und dann analytisch nachweisen, dass es eine Nullstelle ist aber das ist hier denke ich nicht gefragt   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:20

Okay. Nochmals vielen Dank. Ich mache dann mal weiter und dann werde ich nächste Woche wenn wir die Lösungen zu den Übungen bekommen sehen, ob er das auch so gemacht hat.   ─   jinane 15.04.2021 um 00:22

Ich denke der eigentliche Ansatz ist es über eine komplexwertige Polynomdivision zu gehen. Vielleicht kann man die auch einfach so runterrechnen aber habe ich halt noch nie gemacht. Aber du hast bestimmt Glück und findest dazu was im Internet. Wenn du dabei konkrete Fragen hättest schreib einfach nochmal.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:24

Btw wenn du das mit der geraten Nullstelle so durchziehst und danach die abc Formel draufhaust wie du es schon in der a gemacht hast sollte man wenn ich jetzt nicht völlig lost bin auf die richtige Lösung kommen.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:26

Habs zumindest mal so runtergerechnet scheint zu stimmen   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:27

Wegen der vortstreitenden Zeit habe ich dir mal unten meine Lösung mit komplexer polynomdivision geschickt. Bei fragen einfach nochmal schreiben. Kann aber sein dass ich erst morgen antworte :D.   ─   finn2000 15.04.2021 um 00:48

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3 Antworten
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wenn \(z_1=2+j\) eine Nullstelle ist, dann ist \( z_2=2-j\) eine andere Nullstelle ==> \((z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)*z +z_1*z_2\) wobei \(z_1+z_2)= 4; z_1*z_2= 5\).
Um die restliche Nullstelle zu bestimmen Polynomdivision \(z^3-2z^2-3z+10):(z^2-4z+5)=(z+2)\)
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Mein Ansatz 
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Student, Punkte: 237
 

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hier wurde ein Satz benutzt, dasa wenn du eine komplexe Nullstelle eines Polynoms mit reelen Koeffizienten hast dass dann auch automatisch die konjungierte eine Nullstelle ist.
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Student, Punkte: 237
 

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