Der Ausdruck ist eigentlich \(x^x\), was man genau durch Umschreiben in die vorliegende Form bringen kann (logarithmisches Differenzieren). Du hast richtig erkannt, dass man Produkt- und Kettenregel benötigt. Versuch es selbst einmal! Du solltest \( e^{x \ln x} ( \ln x +1 ) \) erhalten.
Schau doch einmal in die Lernplaylist Differenzialrechnung.

Du kannst schreiben: \( f(x)=f(g(x))=e^{g(x)} \text {  mit (korrigiert) } g(x)=x * lnx \text {  und } f(g)=e^g \)
Kettenregel: \(f´(g(x))= f´(g)*g´(x)= e^g*(x*{1 \over x}+1*lnx)=e^{x *lnx}*(1+lnx)\)

Bei der Ableitung von g kam noch die Produktregel ins Spiel