Borel-messbar Funktion

Aufrufe: 160     Aktiv: 14.06.2024 um 07:37

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Sei $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ die Funktion$ f\left( x \right)=\left| x \right|$,
$\mathcal{A=}f^{-1}\left( \mathfrak{B}_1 \right)$ bezeichne die Urbild-$\sigma$-Algebra von $f$.
Es gilt folgendes zu zeigen:
 
Eine Borell-messbare Funktion $g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ ist $\mathcal{A}$-$messbar$ $\iff$ $g$ ist gerade

Eigenschaften einer geraden Funktion sind mir bekannt. Außerdem habe ich auch ein grobes Verständnis, wie sich Messbarkeit zeigen lässt. Jedoch komme ich gar nicht voran beim Zeigen dieser Äquivalenz. Ich wäre über Hilfe dankbar :)

EDIT vom 13.06.2024 um 23:39:

$\Longleftarrow$ Sei $g$ eine gerade Funktion
 
Damit $g ~\mathcal{A}$-Messbar gucken wir wie $\mathcal{A}=f^{-1}\left( \mathcal{B_1} \right)$ im Allgemeinen aussieht

Sei $B=\left[ a,b \right]\in \mathcal{B_1}$
Für $a\le b\lt 0$ gilt $f^{-1}\left( \left[ a,b \right] \right)=\emptyset $
Für $0\lt a\le b$ gilt $f^{-1}\left( \left[ a,b \right] \right) = \left[ a,b \right] \cup \left[ -b,-a\right]$
Für $a\lt 0\lt b $ gilt $ f^{-1}\left( \left[ a,b \right] \right)=\left[ -max\left\{ \left| a \right| ,\left| b \right|\right\}, max\left\{ \left| a \right| ,\left| b \right|\right\}\right]$
 
Da diese $g$ als gerade funktion erfüllt und $g^{-1}\left( \mathcal{B_1} \right) \in \mathcal{A}$ folgt $g$ ist $\mathcal{A}$-Messbar

$\Longrightarrow $ Sei g nun $\mathcal{A}$-Messbar
folgt bestimmt aus den Symmetriegründen der Urbilder.




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Hallo max978,

steht dir ein Faktorisierungslemma zur Verfügung? Wenn ja: Wie lautet eure Formulierung davon?

Man kann aber auch explizit $\mathcal{A}$ bestimmen und dann mit dieser konkreten Darstellung von $\mathcal{A}$ den Beweis beider Richtungen der Äquvialenz nacheinander führen.
Um eine Idee zu bekommen, wie $\mathcal{A}$ aussieht: Kannst du ein paar Beispiele für Mengen $A\in\mathcal{A}$ herausfinden?
Natürlich benötigst du dafür die Definition der Urbild-$\sigma$-Algebra von $f$. Wie lautet sie?
Später brauchst du natürlich eine formale Definition, was es heißt, dass $g$ gerade ist. Kennst du eine?

Viel Erfolg und viele Grüße
Tobias
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Ergänzung: Für die Richtung von rechts nach links kann man auch $g\circ f$ betrachten. Diese Funktion kann man auf Messbarkeit untersuchen. Und unter der Annahme, dass $g$ gerade ist, kann man den Ausdruck $g\circ f$ vereinfachen... (Betrachte ggf. erst einmal $g\circ f(x)$ für ein beliebig vorgegebenes $x\in\mathbb{R}$).

Kommst du mit einem der zwei bis drei von mir genannten Ansätze weiter? Gib gerne eine Rückmeldung, damit man ggf. gezielt weiterhelfen kann.
  ─   tobit 08.06.2024 um 10:30

Hey, erstmal danke für die Antwort :) Leider bemerke ich, dass ich nicht allzu gut durchsteige.
Nach meinem Stand:
Wir haben zwei Borel-messbare Räume einmal $\left( \mathbb{R},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)$ und $\left( \mathbb{R},\mathcal{B}_1\left( \mathbb{R} \right) \right)$. $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$, um die Messbarkeit der Abbildung zu zeigen gilt im Allgemeinen, dass für ein Erzeugendensystem $\mathcal{E´}$ gilt von $\mathcal{A'}$ in unserem Fall $\mathcal{B}_1\left( \mathbb{R} \right)$, dass$ f^{-1}\left( E' \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)$ mit $E' \in \mathcal{E'}$.
$\mathcal{A} = \{ f^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}_1 \}$ , kann in unserem Fall vieles sein da $\mathcal{B}_1\left( \mathbb{R} \right)$ verschiedenste Erzeuger haben kann.
$\mathcal{E_1}:=\left\{ (-\infty,b]:b\in\mathbb{R} \right\}$
$\mathcal{E_2}:=\left\{ (a,b]:a,b\in\mathbb{R},a\le b \right\}$
und $E'$ zum Beispiel in $\mathcal{E'}:=\left\{ (a,b]:a,b\in\mathbb{R},a\le b \right\}$, falls mein Verständnis richtig ist

Ich glaube mein Problem ist, dass ich die Abbildungen noch nicht ganz in Verbindung bringen kann mit dem was zu zeigen ist :/
  ─   max978 08.06.2024 um 14:07

Ich gehe davon aus, dass deine Bezeichnungen $\mathfrak{B}_1$, $\mathcal{B}_1$, $\mathcal{B}_1(\mathbb{R})$ und $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ alle für das gleiche stehen, nämlich für die gewöhnliche Borelsche Sigma-Algebra auf $\mathbb{R}$. Sollte ich mit dieser Annahme daneben liegen, korrigiere mich bitte.

Mir ist etwas unklar, was du gerade tust. Du möchtest anscheinend zunächst die $\mathfrak{B}_1$-$\mathfrak{B}_1$-Messbarkeit der Abbildung $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x):=|x|$ für alle $x\in\mathbb{R}$ prüfen? Um diese Messbarkeit zu zeigen, genügt es in der Tat $f^{-1}(E')\in\mathfrak{B}_1$ für alle $E'\in\mathcal{E}'$ für einen Erzeuger $\mathcal{E}'$ von $\mathfrak{B}_1$ zu zeigen. Zwei solche Erzeuger hast du korrekt genannt. Was genau hindert dich jetzt daran, z.B. den von dir zuerst genannten Erzeuger $\mathcal{E}_1$ herzunehmen und konkret nachzuprüfen, ob $f^{-1}(E')\in\mathfrak{B}_1$ für alle $E'\in\mathcal{E}_1$ gilt? Nimm also ein beliebiges $E'\in\mathcal{E}_1$ her (also $E'=(-\infty,b]$) für eine reelle Zahl $b$) und prüfe, ob $f^{-1}(E')\in\mathfrak{B}_1$ gilt. Was ist denn z.B. $f^{-1}((-\infty,b])$ für $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)=|x|$ für alle $x\in\mathbb{R}$? (Mit einem Stetigkeitsargument kann man die Messbarkeit ggf. bei Kenntnis entsprechender Zusammenhänge schneller zeigen, aber das ist kein Muss; es geht auch ohne diese Idee auf direkterem Wege.)

Mitten in deinen Überlegungen zur $\mathfrak{B}_1$-$\mathfrak{B}_1$-Messbarkeit von $f$ taucht $\mathcal{A}=\{f^{-1}(B)\;|\;B\in\mathcal{B}_1\}$ auf. Das ist die korrekte Definition von $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)$; mir ist aber nicht klar, warum du diese Menge in diesem Zusammenhang ins Spiel bringst.
Von meinen vier Fragen an dich aus meiner ursprünglichen Antwort hast du leider nur eine beantwortet, nämlich die nach der Definition der Urbild-$\sigma$-Algebra $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)$ von $f$.

Vorschlag: Ignoriere erst einmal die Abbildung $g$ und die zu zeigende Aussage und versuche nacheinander (!):
1. Die $\mathfrak{B}_1$-$\mathfrak{B}_1$-Messbarkeit von $f$ zu zeigen.
2. Die Sigma-Algebra $\mathcal{A}=f^{-1}(\mathfrak{B}_1)=\{f^{-1}(B)\;|\;B\in\mathfrak{B}_1\}$ zu verstehen, d.h. konkret anzugeben, welche Mengen dazugehören und welche nicht.
Zu 1. habe ich oben ja schon Tipps gegeben.
Zu 2. könntest du, wenn du meinen obigen Tipp mit den Beispielen nicht verfolgen möchtest (warum auch immer...), auch für beliebiges $B\in\mathfrak{B}_1$ überlegen, wie $f^{-1}(B)$ aussieht. Oder du machst eben doch erstmal Beispiele. Wenn dir keins einfällt, hier ein erster Vorschlag von mir: Betrachte das Intervall $B:=[4;7]$.
  ─   tobit 08.06.2024 um 22:50

Danke erstmal für die ausführliche Antwort, die meine Gedanken zu der Aufgabe ordnen konnte :)
Ja, du hattest recht ich meinte jeweils die borelsche $\sigma$-Algebra auf $\mathbb{R}$, das war bisschen unübersichtlich formuliert von mir.
Ich werde mich die Tage über melden, falls fragen aufkommen oder um meinen Stand mitzuteilen :)
  ─   max978 09.06.2024 um 10:46

Hey :) Bei der anderen Richtung bin ich mir noch nicht ganz sicher, bei dem was Letzen Endes bei mir aufs Papier kam und habe deshalb nur kurz etwas dazu geschrieben. Du musst nichts mehr weiter ausführen zum Beweis, werde demnächst erfahren, wie genau es funktioniert. Nochmals danke :)   ─   max978 13.06.2024 um 23:45

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Deine ersten beiden Fälle bei der Ermittlung von $f^{-1}([a,b])$ stimmen, nur der letzte i.A. nicht.
Für $a<0$ und $b>0$ gilt tatsächlich $f^{-1}([a,b])=[-b,b]$.

Du hast jetzt einige Beispiele für Elemente von $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)$ gefunden. Was für eine vollständige Umsetzung von Schritt 2. aus meinem vorherigen Kommentar noch fehlt, ist ein Verständnis für die Menge $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)$ als Ganzes.

Eine Möglichkeit für ein solches Verständnis ist die folgende Überlegung:
In allen Fällen ist $f^{-1}([a,b])$ "symmetrisch zum Nullpunkt". Das kann man z.B. wie folgt formalisieren: Für alle $x\in f^{-1}([a,b])$ gilt auch $-x\in f^{-1}([a,b])$.
Tatsächlich kann man zeigen, dass $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)$ genau die Menge der Borelschen Teilmengen von $\mathbb{R}$ ist, die "symmetrisch zum Nullpunkt" sind: Es gilt $f^{-1}(\mathfrak{B}_1)=\{C\in\mathfrak{B}_1\;|\;\forall x\in C\colon -x\in C\}$.

Deiner Formulierung "Da diese $g$ als gerade funktion erfülllt" kann ich nicht folgen. Was erfüllt $g$ als gerade Funktion?

Zeigen musst du für die $\mathcal{A}$-Messbarkeit von $g$, dass für alle $D\in\mathfrak{B}_1$ gilt: $g^{-1}(D)\in\mathcal{A}$.
Das kann man auch schreiben als $g^{-1}(\mathfrak{B}_1)\subseteq\mathcal{A}$.
Deine Formulierung $g^{-1}(\mathfrak{B}_1)\in \mathcal{A}$ ergibt schon deshalb keinen Sinn, weil rechts eine Menge von Teilmengen von $\mathbb{R}$ steht, aber links keine Teilmenge von $\mathbb{R}$ (sondern ein Mengensystem).

Du hast keinerlei Beweis erbracht, dass $g^{-1}(\mathfrak{B}_1)\subseteq\mathcal{A}$ gilt, sondern dies einfach behauptet.

Für die andere Richtung $\Rightarrow$ brauchst du erst einmal eine formale Definition von "$g$ gerade".
Anderenfalls kannst du wohl kaum zeigen, dass $g$ gerade ist.

Wenn du eine Lösung kennenlernen wirst, wird diese möglicherweise einen anderen Weg beschreiten als den von uns letztlich eingeschrittenen. Bei dieser Aufgabe gibt es eben viele Möglichkeiten, sie zu lösen. Manche gehen schneller, manche sind naheliegender.
  ─   tobit 14.06.2024 um 07:22

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