Den Graphen einer Funktion $f:R^2\longrightarrow R$ kann man sich als Gebirge vorstellen. An jeder Stelle $(x,y)$ gibt es zwei Ableitungen, die Richtungsableitungen, eine in $x$-Richtung, eine in $y$-Richtung. Wenn man auf dem Gebirge steht (also an einem Punkt in $R^3$) gibt es ja auch viele versch. Steigungen, je nachdem in welche Richtung man schaut. Die partiellen Ableitungen sind die Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen. Wenn man in eine andere Richtung $\vec r=(r_1,r_2)$ schaut, hat man die Steigung $\nabla f(x)\cdot \vec r$.