Term vereinfachen

Erste Frage Aufrufe: 69     Aktiv: 24.07.2021 um 16:56

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Wie komm ich drauf es so umzuschreiben
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Moin,
das zweite Polynom auf der linken Seite faktorisiert sich in \((\lambda-1)(\lambda-2)\), wenn du aus beiden ein - ausklammerst erhältst du \((1-\lambda)(2-\lambda)\), das gruppiert sich wie oben, sodass du auf die rechte Seite der Gleichung kommst.
LG
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\( q(\lambda):=\lambda ^ 2 - 3 \lambda + 2 \) ist eine quadratische Funktion. Alle quadratischen Funktionen lassen sich schreiben als \( q(\lambda) = a\cdot(x-N_1)\cdot (x-N_2) \), wobei \(N_1\) und \(N_2\) die Nullstellen von \(q\) sind (\(q(\lambda)=0 \Rightarrow \lambda = \ldots\)). Für die Berechnung dieser Nullstellen wirst du die \(pq\)-Formel, die Mitternachtsformel oder die quadratische Ergänzung können müssen. Ich demonstriere mal die Berechnung anhand deines Beispiels mit \(pq\)-Formel:
\[ q(\lambda) :=0 \]
\[ \Rightarrow \lambda ^ 2 - 3 \lambda + 2 = 0 \]
\[ \Rightarrow \lambda = -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{-3}{2}\right)^2 -2 } = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow N_1 = 1\wedge N_2=2 \]
\[ \Rightarrow q(\lambda) = (\lambda-1)\cdot(\lambda-2) \]

Beachte, dass \(N_1,N_2\) manchmal komplexe Zahlen sind. Das ist immer dann der Fall, wenn der Wert unter der Wurzel negativ ist. Falls du noch nie etwas von komplexen Zahlen gehört hast, kannst du in diesem Fall \(N_1\) und \(N_2\) nicht berechnen.
Wenn der Wert unter der Wurzel \(0\) ist, dann sind \(N_1=N_2\). Zum Beipiel \(f(x):=x^2+2x+1\) folgt
\[x=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-1}=-1\pm\sqrt{0}\]
\[\Rightarrow N_1 = N_2 =-1\]
\[\Rightarrow f(x) = (x+1)^2 \]
Der Wert \(a\) entspricht immer dem Vorfaktor des quadratischen Terms (\(x^2\) bzw. \(\lambda^2\)). In beiden oberen Fällen ist dieser 1. Bei \(f(x)=-4x^4+6x-27\) ist der Vorfaktor -4.
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ich glaube es ging nur um den einen Schritt in der Umformung :)   ─   fix 24.07.2021 um 16:54

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