Du kannst die Summe interpretieren als Fläche von Rechtecken mit Höhe \(\sqrt k\) und Breite \(1\). Diese Rechtecke bilden z.B. eine Untersumme von \(\int_1^{k+1}\sqrt x\,dx\) (mach dir dazu eine Skizze!), also gilt \(H_n\leq\int_1^{k+1}\sqrt x\,dx\) und durch Berechnung des Integrals erhälst du die obere Schranke. Analog kannst du eine untere Schranke finden.

Was du geschrieben hast, stimmt nicht: Erstens ist die Summe immer beschränkt, da \(H_n\) eine endliche Summe endlicher Summanden ist. Zweitens, wenn es eine unendliche Summe wäre, würde die Divergenz der Integrale auch die Divergenz der Summe implizieren, nicht Beschränktheit.