Das Lagrange-Verfahren bezieht die Nebenbedingung in die zu untersuchnde Funktion ein.
hier gilt: \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda (NB)= x+{y^3 \over 3}-{1 \over 3} +\lambda (x+4y-8)\)

Das wird als Funktion von 3 Variablen betrachtet: Zur Extremwertbestimmung werden die partiellen Ableitungen gebildet und =0 gesetzt.

\({\partial L \over \partial x}= 1+\lambda = 0\)

\({\partial L \over \partial y} =y^2+ \lambda *4 =0\)

\({\partial L \over \partial \lambda} =x+4y-8=0\)

Das Gleichungssystem wird aufgelöst ==> \(\lambda= -1\);   

\(y^2=-4\lambda=4 \Rightarrow y=\pm2 =-2 \text { wegen der Vorgabe y < 0} \)

\(x-4*(-2) -8=0 \Rightarrow x=16\)

Als mögliches Extremum kommt infrage \((x,y)=16; -2)\).

Determinante der Hessematrix :\( =2y =-4 \lt 0 \Rightarrow \text { Maximum } \).

Du kannst die Probe machen und die Nebenbedingung nach y auflösen:==> \(y = {1 \over 4} (8-x)=2 -{x \over 4}\) und in f(x,y) einsetzen:==>

\(f(x,y) = x+{1 \over 3}y^3-{1 \over3}= x+{1 \over3}(2-{x \over 4})^3-{1 \over3}\) Die Funktion hängt nur noch von x ab und die Extrema können klassich über f´=0 bestimmt werden. (kommt natürlich dasselbe raus)