Beweise, dass Pn+1 - Pn = Sn+1 - Sn

Aufrufe: 77     Aktiv: 26.04.2022 um 20:10

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Gezeigt werden soll, dass 
Pn+1 - Pn = Sn+1 - Sn


                  n
Pn = Summenzeichen  i²
                i=1

Sn = 1/6n (n+1)(2n+1)

Klar ist, dass diese zunächst gleichgesetzt werden.
Pn+1-Pn = Sn+1-Sn

Wie kann dann aufgelöst werden? Ist es möglich einfach alles aufzulösen, sodass am Ende 1=1 herauskommt? (Mein Weg auf der rechten Seite: 1/6n+1 - 1/6n = 1, (n+1+1) - (n+1) = 1 und (2n+1+1) - (2n+1) = 1, also 1×1×1 = 1)
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Schüler, Punkte: 44

 
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Es muss nicht zwingend 1=1 gelten. Es gibt unendlich viele verschiedene wahren Aussagen die rauskommen können.

Wenn du $P_{n+1}-P_n$ mal mit den Summen aufschreibst stellst du fest das nur das $(n+1)$-te Summenglied übrig bleibt. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass $S_{n+1}-S_n$ gleich deinem $(n+1)$-ten Summenglied ist.

Versuche erst mal selbst zu rechnen. Wenn du nicht mehr weiter kommst, lade deine Rechnung als Foto hoch. So können wir besser erkennen wo du Probleme hast.

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Ich habe die Summenzeichen (Pn+1 - Pn) so aufgelöst:
1² + 2² + 3² + ... + n² - 1² + 2² + 3² + ... + (n+1)²
Stimmt das? Würde beim auflösen nicht (n+1)² übrig bleiben?
  ─   lily10 26.04.2022 um 19:59

Ja richtig es bleibt nur $(n+1)^2$ übrig. Jetzt muss also gelten:
\[(n+1)^2=S_{n+1}-S_n\]
Auf der rechten Seite also Hauptnenner bilden und die Brüche zusammenfassen.
  ─   maqu 26.04.2022 um 20:10

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