Beweise, dass Pn+1 - Pn = Sn+1 - Sn

Aufrufe: 524     Aktiv: 26.04.2022 um 20:10
0
Gezeigt werden soll, dass 
Pn+1 - Pn = Sn+1 - Sn


                  n
Pn = Summenzeichen  i²
                i=1

Sn = 1/6n (n+1)(2n+1)

Klar ist, dass diese zunächst gleichgesetzt werden.
Pn+1-Pn = Sn+1-Sn

Wie kann dann aufgelöst werden? Ist es möglich einfach alles aufzulösen, sodass am Ende 1=1 herauskommt? (Mein Weg auf der rechten Seite: 1/6n+1 - 1/6n = 1, (n+1+1) - (n+1) = 1 und (2n+1+1) - (2n+1) = 1, also 1×1×1 = 1)
Diese Frage melden
gefragt

Schüler, Punkte: 44

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Es muss nicht zwingend 1=1 gelten. Es gibt unendlich viele verschiedene wahren Aussagen die rauskommen können.

Wenn du $P_{n+1}-P_n$ mal mit den Summen aufschreibst stellst du fest das nur das $(n+1)$-te Summenglied übrig bleibt. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass $S_{n+1}-S_n$ gleich deinem $(n+1)$-ten Summenglied ist.

Versuche erst mal selbst zu rechnen. Wenn du nicht mehr weiter kommst, lade deine Rechnung als Foto hoch. So können wir besser erkennen wo du Probleme hast.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 8.84K

 
Ich habe die Summenzeichen (Pn+1 - Pn) so aufgelöst:
1² + 2² + 3² + ... + n² - 1² + 2² + 3² + ... + (n+1)²
Stimmt das? Würde beim auflösen nicht (n+1)² übrig bleiben?   ─   lily10 26.04.2022 um 19:59
Ja richtig es bleibt nur $(n+1)^2$ übrig. Jetzt muss also gelten:
\[(n+1)^2=S_{n+1}-S_n\]
Auf der rechten Seite also Hauptnenner bilden und die Brüche zusammenfassen.   ─   maqu 26.04.2022 um 20:10

Kommentar schreiben