Verständnisproblem mit (x/x+1)

Erste Frage Aufrufe: 207     Aktiv: 27.05.2022 um 19:24

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Hallo zusammen,

ist mir schon etwas peinlich so eine Frage zu stellen, aber irgendwie stehe ich auf'm Schlauch. Ich mache das Ganze mal an einem fiktiven Zahlenbeispiel fest:
Man misst mit einem Bandmaß eine Strecke s von 49 meter. Nun bekomme ich die Information, dass das Bandmaß fehlerbehaftet ist und um e=0,4m pro meter zu lang ist. Was würde ein fehlerfreies Bandmaß messen?

Mein erster Gedanke war, dass ich mich an den echen Wert irgendwie annähere. Hab das dann so versucht:

y = s - se +se^2 -se^3 +se^4 ....

Das klappt zumindest in diesem Beispiel und ich konvergiere gegen den Wert 35 m. Aber dieser Ansatz scheint nicht richtig zu sein, denn wenn e größer wird, dann kommt nur Müll raus.
Die scheinbar richtige Lösung ist:

y = s - s*(e/(e+1)))

Damit komme ich dann auf die 35 meter. Auf diese Lösung bin ich durch herumprobieren gestoßen und mein Problem ist nun das Verständnis. Ich weiß nicht, wie ich diese Gleichung bewusst herleite. Eine geometrische Reihe ist das ganze ja auch irgendwie nicht. Hat jemand eine Idee, wie ich von dem ursprünglichen Problem (das Beispiel oben) auf die untere Gleichung komme? Gibt es dafür irgendwie ein Begriff?

lieben Gruß,
justnoclue
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Punkte: 12

 

Ich verstehe den Zusammenhang zur "Annäherung" nicht.

Wenn das Band um 0.4m pro m zu lang ist, dann hätte ich das so verstanden, dass eine von diesem Band als 1m gemessene Strecke eigentlich 1.4m lang wäre, also die 49m mal 1.4 und gut.

Vielleicht habe ich es aber auch missverstanden...
  ─   mathe42 25.05.2022 um 12:15

Ich halte die Formulierung "dass das Bandmaß fehlerbehaftet ist und um e=0,4m pro meter zu lang ist" für offenbar uneindeutig.

Meine Interpretation war, dass das Trägerband um 40% gedehnt ist, der Skalenstrich für 1m also 1.4 echte m vom Anfang entfernt ist.

Wie man zu der anderen Interpretation kommt, wonach der 1.4m "Skalenstrich" einen echten m vom Anfang entfernt ist, geht mir nicht ein, aber da ich das jetzt schon von drei usern so lese, würde ich gerne den Gedankengang verstehen, der den Text so verstehen lässt.
  ─   mathe42 25.05.2022 um 12:41

Du misst mit dem falschen (!) Band 49m. Da dieses Band zu lang ist, muss die tatsächliche Länge kürzer sein.   ─   cauchy 25.05.2022 um 16:39
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Du musst 49 durch 1,4 rechnen, weil das fehlerbehaftete Maßband bei einer Länge von 49 Meter (was dann 140 % wären) ja viel zu wenig misst. Die Formel die du da hast, ist doch viel zu kompliziert und lässt sich gerade vereinfachen zu $y=\frac{s}{e+1}$, was genau das ist, was ich oben schrieb.
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Ich verstehe nicht, wie du hier auf Division kommst. Das Bandmaß "sagt", die Strecke sei 49m, aber das Bandmaß "lügt", weil jeder behauptete m des Bandmaßes in Wirklichkeit 1.4m sind... Da müsste man doch multiplizieren...   ─   mathe42 25.05.2022 um 12:35

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man bin ich blöd.
...na klar. Die gemessene Länge ist einfach 140% gegenüber der "echten" Länge. Keine Ahnung wie ich mir das so kompliziert machen konnte. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Das Beispiel ist ggf. etwas unglücklich. Das ist auch keine Aufgabenstellung aus irgendeinem Buch sondern frei beschrieben. Das Maßband würde in meinem Beispiel 1,4m anzeigen, wo ein fehlerfreies Maßband 1m anzeigt. ....und genau dieser letzte Satz zeigt ja schon implizit den Lösungsweg. Ich hatte mich einfach zu sehr auf die Werte 49m und 0,4m Fehler/m konzentriert und mich irgendwie festgesetzt.

vielen Dank euch allen. ...jetzt ist es mir ja noch peinlicher (>////<) 「(⌒_⌒;)
  ─   justnoclue 25.05.2022 um 13:10

@mathe42: Das Band ist ja zu lang, es misst also zu viel. Jede 1,4m des Bandmaßes sind ja nur 1m in der Wirklichkeit. Du hast es genau verdreht.

@justnoclue: Schön, dass es du jetzt verstanden hast. Das ist doch die Hauptsache. :)
  ─   cauchy 25.05.2022 um 18:15

@cauchy: Es liest sich für mich auch in dieser Formulierung falsch...

Angenommen, ich habe also eine (Mess-)Schnur, von der ich glaube, dass sie 1m lang wäre, und für die abzumessende Strecke konnte ich 49 mal diesen "vermeintlichen 1m" anlegen. Da jetzt aber die Schnur tatsächlich 1.4m lang ist, heisst das ja, dass ich in Wirklichkeit 49mal 1.4m angelegt habe.

"Du misst mit dem falschen (!) Band 49m. Da dieses Band zu lang ist, muss die tatsächliche Länge kürzer sein. " - dieser Satz klingt für mich nur widersinnig.

Nehmen wir ein einfacheres Beispiel: Das für 1m lang gehaltene Band ist in Wirklichkeit 2m lang. Ich messe damit die Länge meines Zimmers, und kann das Band zwischen den gegenüberliegenden Wänden genau 2mal hintereinander anlegen - ist das Zimmer jetzt 1m oder 4m lang - ausgehend von meinem falschen 2m "Mess-resultat" ?
  ─   mathe42 25.05.2022 um 21:30

oh je, da habe ich ja was losgetreten. ;)
....naja, die Bänder wären in meinem Beispiel natürlich gleichlang, nur die Skalierung ist anders.
Gewisserweise beruhigt es mich zu sehen, wie schnell es auch bei anderen zur Verwirrung führt.
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In meinem Fall geht es eigentlich um eine Zeitmessung, bei der die verwendete Uhr je nach Umgebungstemperatur schneller oder langsamer geht (ist ein natürlicher Prozess bei allen Uhren). Mit meiner initialen Frage verfolgte ich die Überlegung, wie man die gemessene Zeit korrigiert, auch wenn es sich um Mikrosekunden handelt. Ich fand das Beispiel mit einer Längenmessung nur etwas zugänglicher. Das Prinzip ist aber dasselbe.

Euch allen nochmals vielen Dank für die Unterstützung.
Wer weiß... eventuell frage ich nächstes mal wie man eine Summe aus zwei Zahlen bildet (☞゚ヮ゚)☞

LG,
justnoclue
  ─   justnoclue 26.05.2022 um 01:14

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@mathe42: Ich weiß nicht, was du an dem Satz widersinnig findest. Wenn du mit einem zu langen (im Sinne von falsch skaliert) Maßband eine Strecke misst, ist deine gemessene Länge größer als die tatsächliche Länge. Und wenn deine gemessene Länge nun 49m ist, dann muss die tatsächliche Länge kürzer sein, weil dein Band ja 1,4m statt 1m misst. Ganz simpler Dreisatz.

Dein einfaches Beispiel funktioniert schon nicht, weil du auch hier die Tatsachen verdrehst. Laut Fragestellung müsste es nämlich lauten, dass das für 2m gehaltene Band in Wirklichkeit nur 1m lang ist und nicht andersherum. Das 4m lang gemessene Zimmer ist dann in Wirklichkeit also nur 2m lang.
  ─   cauchy 26.05.2022 um 01:27

Nach dem letzten Kommentar des Fragestellers ist jetzt klar, dass ich die Angabe zu sehr auf die Goldwaage gelegt habe...

Wenn das also so gemeint war, dass das Maßband die richtige physikalische Länge 1m hatte, aber die Skala darauf "1.4m" sagte, DANN ist auch die Division klar.

Das Problem war also, dass bereits die Angabe "verdreht" war, aber das ist jetzt geklärt. Wenn ein Maßband sich nachträglich als "zu lang" erweist, ist das in meinem Verständnis eben gleichbedeutend damit, dass das Band selber zu lang ist, nicht dass die Skalen-striche eine größere Länge behaupten.
  ─   mathe42 26.05.2022 um 08:46

Ichg mag mich irren aber ist das Problem hier nicht so was Ähnliches wie die Massstabsangaben auf einer Karte?
Wo es heißt "1 cm auf der Karte entspricht 1,4 cm in der Wirklichkeit"?

Weil da würde man ja auch ganz simpel schreiben:
Reale Länge/Kartenlänge=(1,4/1)

und wenn es anders herum eben hieße "1,4 cm auf der karte sind 1 cm in wirklichkeit", dann steht da halt rechts stattdessen 1/1,4.

welcher der 2 Fälle zutrifft, hängt halt von der Aufgabenstellung ab.
Aber so ist das doch simpler Dreisatz, oder?

Die Länge im einen "Masssystem" mal fester Faktor gleich Länge im anderen Masssystem.
Fraglich ist nur der Faktor, den die Aufgabenstellung liefert.
  ─   densch 26.05.2022 um 23:46

Das Problem hier ist jedenfalls NICHT die Anwendung des Dreisatzes, sondern die Interpretation der Angabe. Letztere war vom Fragesteller mal schnell aus dem Ärmel geschüttelt - da kann ein Fehler schon mal passieren. Also lassen wir es jetzt mal gut sein...   ─   mathe42 27.05.2022 um 19:24

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