Hallo,

ein Produkt darf man nicht auseinander ziehen und einzeln betrachten. Das darf man nur mit einer Summe. Es gilt

$$ a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)  \Rightarrow a_1 F_1(s) + a_2 F_2(s) $$

Nun muss ich zugeben, dass ich mit Laplace nicht sonderlich viel praktische Erfahrung habe. Allerdings würde ich aufgrund der obigen Regel eine Partialbruchzerlegung durchführen. Es gilt: 

$$ \frac 1 {s(s+2)^2} = \frac 1 4 \frac 1 s +\left( - \frac 1 4 \right) \frac 1 {(s+2)} + \left( - \frac 1 2 \right) \frac 1 {(s+2)^2} $$

Wenn wir dass nun mit Hilfe der Tabelle umformen, erhalte ich allerdings

$$ \Rightarrow \frac 1 4 \cdot 1 + \left( - \frac 1 4 \right) e^{-2t} + \left( - \frac 1 2 \right) t e^{-2t} = \frac {1+(-1-2t)e^{-2t}} 4 $$

Ich habe also noch eine \( +1 \) mehr als dein Prof. Aufgrund meiner geringen Erfahrung, kann ich nicht bestimmt sagen, dass die Lösung deines Profs nicht korrekt ist, aber vielleicht hat er einen kleinen Fehler gemacht. 

Ich hoffe das hilft dir weiter. 

Grüße Christian