Monotonie von Folgen beweisen

Aufrufe: 105     Aktiv: 23.11.2022 um 19:50

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hallo, ich möchte zu folgender Folge bn beweisen, dass sie monoton fallend ist. Kann mir irgendwer den nächsten Rechenschritt sagen bzw. ob mein Ansatz auch schon so korrekt ist.danke. 

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Es macht hier durchaus Sinn, die Folge umzuschreiben zu \(b_n=\frac{1+2+...+n}{n^2}=...\) Das macht einem die Beweisführung deutlich einfacher.   ─   fix 23.11.2022 um 17:55

Würde ich danach denn für n einfach einmal n setzen und dann n+1? Bzw war das ja mein erster Schritt bei an (habe ich aus Versehen anstatt bn geschrieben), nur komme ich dort nicht weiter   ─   hanni 23.11.2022 um 18:05

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Man kann für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen eine geschlossene Form finden. Man sieht leicht, dass \(1+2+...+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}\). Setze das ein und erhalte \(b_n=\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})\) Jetzt musst du nur noch zeigen, dass \(b_n\ge b_{n+1}\).   ─   fix 23.11.2022 um 19:05
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Wenn das zu Deiner vorigen Frage gehört:
Dort ist nur nach Konvergenz gefragt. Monotonie ist hier uninteressant. Und den Tipp den Zähler umzuschreiben kennst Du ja schon vor dort.

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