Hallo,

zuerst zur Struktur: 

Die Induktionsbehauptung ist 

$$ \sum\limits_{k=1}^n  k(k-1) = \frac {n^3} 3 - \frac n 3 $$

Dann ist dein Induktionsanfang wie du es beschrieben hast und dann kommt der Induktionsschritt:

$$ n \to n+1 $$

Du machst hier eine Induktion über $n$. Deshalb führt uns das zu

$$ \sum_{k=1}^{n+1} k(k-1) = \frac {(n+1)^3} 3 - \frac {n+1} 3 $$

Nun kannst du die linke Seite umformen 

$$ \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} k(k-1) = \sum_{k=1}^n k(k-1) + (n+1)((n+1)-1) = \frac {(n+1)^3} 3 - \frac {n+1} 3 $$

und die Behauptung einsetzen

$$ \Rightarrow \frac {n^3} 3 - \frac n 3 + (n+1)n = \frac {(n+1)^3} 3 - \frac {n+1} 3 $$

Kannst du diese Gleichung nun beweisen? Falls du nicht weiterkommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian