$\operatorname{ord}\left(a^{n}\right)=\frac{\operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(a), n)}{n}$

Erste Frage Aufrufe: 241     Aktiv: 05.05.2023 um 15:34
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Hallo ihr Lieben, ich habe ein kleines Problem bei diesem Satz:

Folgende Aussage ist gegeben: Sei \( a \in G \) mit \( \operatorname{ord}(a)<\infty \). Für jedes \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) ist \(\operatorname{ord}\left(a^{n}\right)=\frac{\operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(a), n)}{n}\)

Beweis: Sei \( m:=\operatorname{ord}(a) \) und \( k:=\operatorname{ord}\left(a^{n}\right) \). Dann ist \( k \) minimal mit \( \left(a^{n}\right)^{k}=a^{n \cdot k}=e \). Weil die $ord(a)=m$ nach Voraussetzung gilt also $m | nk$, also ist \( n \cdot k \in m \mathbb{Z} \). Bier hier ist alles soweit klar. In meinem Skript steht jetzt einfach nur noch: Es folgt \( n \cdot k=\operatorname{kgV}(m, n) \) und damit die Aussage.

Was ich an dem Beweis nicht so richtig verstehe ist, warum \( n \cdot k=\operatorname{kgV}(m, n) \). Kann man da irgendwie argumentieren, dass $nk$ ein Vielfaches von $n$ sind und deshalb auch ein Vielfaches von $kgV(m,n)$? Aber woher weiß ich dann, dass es das kleinste Vielfache wäre? Es wäre ganz lieb, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :D

 

LG Johanna

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Moin,

es ist $$n\cdot k=m\cdot z$$ für ein geeignetes $z\in \mathbb{N}$, s.d. $n\cdot k$ minimal wird (das ist weil $n\in\mathbb{N}$ äquivalent dazu, dass k minimal ist). Wir suchen also auf der rechten Seite ein möglichst kleines Vielfaches von m, was zusätzlich von n geteilt wird, das ist gerade das $\operatorname{kgV}(n,m)$.

LG
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Student, Punkte: 3.82K

 
Na klar: Man muss das $z$ nicht so wählen, wir wollen das so machen, weil wir dann unser gewünschtes $k$ finden (Erinnerung: es gilt $k=\operatorname{ord}(a^n)=\operatorname{min}(k \in \mathbb{N}| (a^n)^k=e)=\operatorname{min}(\frac{m\cdot z}{n})$). Das nächste Argument hast du missverstanden. Ich habe geschrieben, dass für festes $n\in\mathbb{N}$ $n*k$ genau dann minimal ist, wenn $k$ minimal ist. Das ist ziemlich offensichtlich. Es folgt nun nach obiger Argumentation, dass $m\cdot z=\operatorname{kgV}(n,m)$ ist.
Eine andere Perspektiver wird vielleicht durch folgende Überlegung eröffnet: für $z=n$ ist die Gleichung erfüllt, d.h. $k*n=m*z=m*n$, also $k=m$. Es gilt offensichtlich $(a^n)^m=(a^m)^n=e$. Es könnte aber sein, dass es ein kleineres $z$ gibt, was trotzdem die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Es muss aber immer noch $n | m*z$ und somit ist $m*z$ auch ein Vielfaches von n. Es erfüllt $\operatorname{kgV}(n,m)$ die gewünschte Bedingung, weil $(a^n)^{\frac{\operatorname{kgV}(n,m)}{n}}=a^{\operatorname{kgV}(n,m)}=e $, weil ein Vielfaches von m. Andererseits kann $k*n$ auch nicht kleiner sein, also mit Sicherheit $k*n=\operatorname{kgV}(n,m)$
Ich hoffe das hilft etwas weiter, wenn nicht, melde dich nochmal.   ─   fix 03.05.2023 um 21:38
Ja, dass stimmt so   ─   fix 04.05.2023 um 20:18
Ohne den Rest zu lesen: Nein, das ist so nicht korrekt. Denn: Wenn $m,z,n$ fest sind, dann ist die Menge einelementig, was vermutlich nicht so gemeint ist. Wenn eines oder mehrere der $m,z,n$ nicht fest sind (ich vermute hier. $m,n$ fest, $z$ variabel), dann muss dort stehen $\rm min\{ k \,|$ es gibt ein $z$, so dass $k\cdot n=m\,z\}$ (wenn meine Vermutung stimmt).   ─   mikn 04.05.2023 um 21:26
Genau. Aber was heißt "nur"? Du hast gefragt, ob es korrekt ist, und es ist nicht korrekt. Auch kein Schönheitsfehler, weil die Menge sonst nicht eindeutig definiert ist und es völlig unklar ist, wovon das Minimum gebildet wird.   ─   mikn 05.05.2023 um 11:07
Achso, sorry, alles klar.   ─   mikn 05.05.2023 um 11:26
Es war aus dem Kontext der Aufgabe klar, dass $z$ eine freie, natürliche Variable ist. Dann wird aus der Notation$$\operatorname{min}\{k\in\mathbb{N}|k=\frac{mz}{n}, z \in \mathbb{N}\}=\operatorname{min}\{k\in\mathbb{N}|k=\frac{mz}{n}\}$$Die linke Notation ist doch wohl richtig? @mikn   ─   fix 05.05.2023 um 14:20
Kontext reicht nicht, wie oben erklärt. Die linke Seite würde ich (aber nur zögerlich) akzeptieren, die rechte nicht. Das = stimmt eben nicht.   ─   mikn 05.05.2023 um 15:34

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Es ist $k$ minimal mit $a^{nk}=1$, i.e. $k$ ist minimal, s.d. $nk$ ein vielefaches von $m$ ist.
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