Bei Nullstellen werden die Schnittpunkte mit der x-Achse (also f(x)=0) berechnet.
Gemeinsame Kurvenpunkte bedeutet (bei 2 Funktionen f und g) f(x)=g(x) , die können auf der x-Achse liegen oder nicht, können also gleich den Nullstellen sein.
Du hast 2mal die Nullstellen berechnet (gleicher Ansatz jeweils), kein Wunder also...

du musst bei den gemeinsamen Kurvenpunkten 2 unterschiedliche Gleichungen aus deiner Schar einsetzen fa1(x) = fa2(x). Hierzu werden unterschiedliche Methoden gelehrt,
-entweder ganz allgemein (a1 und a2 benutzen) oder
-halb, dazu wird in eine Gleichung ein Wert z.B. 1 für a eingesetzt und in die andere mit einem allgemeinen a verwendet oder
-wenn man den Punkt kennt/vermutet, kann man ihn auch durch allg. Rechnung nachweisen.

Was habt ihr dazu gelernt?

Bei gemeinsamen Punkten geht es nicht um Nullstellen (daran erkennbar, dass das Wort "Null" nicht in der Aufgabe vorkommt). Es geht um Punkte $(x,y)$, für die für alle $a$ (Stichwort "gemeinsam") $y=f(x)$ gilt. Es soll also $(x,y)$ unabhängig von $a$ auf dem Graphen von $f$ liegen. Kannst ja mal die Schar plotten, dann sieht man auch die Lösung.
Beachte auch den Unterschied zwischen Stellen und Punkten.