Automorphismus bei Körpererweiterung

Aufrufe: 70     Aktiv: 21.02.2021 um 14:08

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Hallo, 

es geht um Aufgabe (d) in: 



Meine Lösung sieht folgendermaßen aus: 



Ist das so richtig? Irgendwie glaub ich dass es schneller und eleganter geht :D

danke schonmal für die Hilfe 

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Dein Minimalpolynom ist falsch. Das Minimalpolynom muss Koeffizienten ist \(\mathbb Q\) haben, das ist bei dir nicht der Fall.
Für die (d) fiele mir folgende einfache Lösung ein, es kann aber sein, dass du das nicht so machen kannst, weil dir das nötige Wissen dazu fehlt:
Nach (a)-(c) gilt \(L=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt 5)\) ("\(\supseteq\)" nach (a), die andere Inklusion aus Gradgründen mit (b),(c)) Folglich ist \(L\) der Zerfällungskörper von \(f=(x^2-2)(x^2-5)\in\mathbb Q[X]\). Also permutieren Elemente in \(Aut(L/\mathbb Q)\) die Nullstellen der über \(\mathbb Q\) irreduziblen Faktoren von \(f\), daraus folgt die Behauptung.
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Das ist ein Resultat der Galoistheorie. Wenn du den Satz nicht verstehst, dann kennst du das Resultat wahrscheinlich noch nicht. In diesem Fall rechne einfach nach, dass \(\sigma,\tau\) bijektiv, linear und eingeschränkt auf \(\mathbb Q\) die Identität sind.   ─   stal 21.02.2021 um 12:37

Da hast du was falsch verstanden. Nur weil z.B. \(\sigma(\sqrt5)=\sqrt5\) folgt daraus nicht \(\sigma(x)=x\) für alle \(x\). Du kannst \(L/\mathbb Q\) als Vektorraum über \(\mathbb Q\) auffassen, ein Vektorraumhomomorphismus ist eindeutig durch die Bilder einer Basis bestimmt. Wegen \(L=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt5)\) ist \(\{1,\sqrt2,\sqrt5,\sqrt{10}\}\) eine \(\mathbb Q\)-Basis von \(L\). Da \(\sigma\) ein \(\mathbb Q\)-Homomorphismus ist, muss \(\sigma(1)=1\) sein, die Werte von \(\sigma(\sqrt2)\) und \(\sigma(\sqrt5)\) hast du gegeben und weil \(\sigma\) nicht nur ein Vektorraumhomomorphismus, sondern sogar ein Körperhomomorphismus ist, muss \(\sigma(\sqrt{10})=\sigma(\sqrt2\sqrt5)=\sigma(\sqrt2)\sigma(\sqrt5)=-\sqrt{10}\) folgen. Dadurch ist jetzt ein eindeutiger Homomorphismus definiert, den musst du untersuchen.   ─   stal 21.02.2021 um 14:08

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