Beweisen dass (2n) ≤ (n!) ∀ n ∈ N \ {1,2,3} gilt

Aufrufe: 52     Aktiv: 29.01.2023 um 20:21
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Frage: Beweisen sie oder widerlegen sie dass (2n) ≤ (n!) ∀ n ∈ N \ {1,2,3}.


Als lösung habe ich:

IA)

Wir müssen zeigen, dass die Aussage für n = 4 gilt:

2^4 = 16 und 4! = 24. Daher gilt 2^4 ≤ 4! und die Annahme ist erfüllt.

Ind.-V:

2n<n!

 

Daraus folgt

2*2n < 2*n!

Wegen n>3 gilt auch

2*n! <(n+1)*n!, also gilt die Ungleichungskette

2*2n < 2*n!<(n+1)*n!, vereinfacht geschrieben:

2n+1 < 2*n! <(n+1)!

 

und so gilt, dass (2n) ≤ (n!)


Ist meine Lösung richtig? Wenn nicht, dann was ist der richtige Lösungsweg?


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Die IV gilt für ein $n\in\mathbb{N}$ mit $n\geq 3$. Das sollte dabei stehen. Sonst ist die Vorgehensweise richtig. Ich würde das aber wirklich auch alles in eine Ungleichungskette schreiben und mit $2^{n+1}$ anfangen und bei $(n+1)!$ aufhören. Das geht hier wunderbar.
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vielen Dank für Ihre Antwort, was meinen Sie genau, dass Sie es in eine Ungleichungskette schreiben würden?   ─   user6ab395 29.01.2023 um 20:21

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