X=u bestimmen für gewünschten Flächeninhalt

Aufrufe: 91     Aktiv: 17.05.2022 um 23:10

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Folgende Aufgabe:

Teilaufgabe a) und b) konnte ich lösen und habe ich soweit verstanden. 
Für a) habe ich -1/10x^3 + 3/4x^2 und für b) A1= 5.208. 

Nun ist bei Teilaufgabe c) gefragt, dass x=u grösser als 5 sein muss und die beiden Funktionen so schneiden, damit ein Flächeninhalt A2 rauskommt, der gleich gross wie A1=5.208 ist. 

Meine Differenzfunktion ist d(x) = p(x) - f(x) * (ich habe meine gesuchte Parabel p(x) genannt und die Parabel 2. Grades f(x) anstatt y)

Leider verstehe ich die Lösung von c nicht: 

Ich kann es graphisch nicht nachvollziehen:


Sobal ich jedoch die Differenzfunktion mit x=20/3 darstelle, macht das "gleich null setzen" Sinn, da die Flächenbilanz von 0 bis 20/3 genau 0 ergibt. 


Kann mir jemand helfen, damit ich die Teilaufgabe c) verstehe? Habe Mühe mit den Zusammenhängen

EDIT vom 17.05.2022 um 21:43:

EDIT: Bild nach der Hilfe von cauchy:
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1 Antwort
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Das Nullsetzen ergibt auch bei Aufgabe c) Sinn, denn da die eingeschlossene Fläche genauso groß sein soll wie $A_1$ und bei $x=5$ der Schnittpunkt der Graphen liegt, folgt daraus sofort, dass die Flächenbilanz zwischen den Graphen von 0 bis zum gesuchten $u$ eben 0 ergeben muss (die Graphen tauschen ja beim Schnittpunkt die "Rolle") und damit $A_0(u)=0$.
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Selbstständig, Punkte: 23.05K

 

Danke für die Erklärung! Die Anmerkung des "Rollentauschs" war besonders wichtig, da ja nun die Differenzfunktion mit (-1) multipliziert wird und somit null ergibt. Ich hätte beim ersten Bild rauszoomen müssen, dann hätte ich die Fläche auch optisch gesehen. Mein Fehler war, dass ich die Fläche zwischen den drei Graphen und der X-Achse angeschaut habe. Diese war aber überhaupt nicht gegeben...

PS: Ich habe nun als EDIT das neue Bild hochgeladen, bei dem man die Flächenbilanz auch ohne Differenzfunktion erkennen kann. :)
  ─   nas17 17.05.2022 um 21:42

Du kannst sonst auch einfach die Differenzfunktion plotten. Dann ist einfach die Fläche zwischen der Differenzfunktion und der $x$-Achse gesucht. Die beiden Probleme sind dann äquivalent, weil die Schnittpunkte der beiden Graphen die Nullstellen der Differenzfunktion sind.   ─   cauchy 17.05.2022 um 22:01

Die Differenzfunktion habe ich bereits geplottet (siehe Bild mit blau markierter Fläche). Ich wollte das Problem auch an den beiden "usprünglichen" Funktionen optisch verstehen. Dass die Schnittpunkte der Graphen die Nullstellen der Differenzfunktion sind, wusste ich nicht. Schreibe ich mir direkt auf! :) Finde solche Zusammenhänge extrem hilfreich.   ─   nas17 17.05.2022 um 22:13

Lässt sich auch leicht beweisen. Berechne mal die Nullstellen von $d(x)=f(x)-g(x) $ ohne konkrete Funktionen einzusetzen. Was erhältst du dann für eine Gleichung? ;)   ─   cauchy 17.05.2022 um 22:44

Du hast meine Gedanken gelesen. :D
Wenn ich für d(x) = 0 einsetze, erhalte ich f(x) = g(x) und somit die Schnittstelle der beiden Funktionen? :)
  ─   nas17 17.05.2022 um 23:00

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So ist es. Zusammenhänge kennen ist das eine, sie zu verstehen das andere. ;)   ─   cauchy 17.05.2022 um 23:10

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