N Ableitungen und natürliche Exponentialfunktion

Erste Frage Aufrufe: 100     Aktiv: 06.06.2022 um 18:33

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Bestimmen Sie eine Funktion f dritten Grades, bei der der Funktionswert sowie die ersten drei Ableitungen an der Stelle x = 0 mit der natürlichen Exponentialfunktion übereinstimmen. Wie müsste eine ganzrationale Funktion n-ten Grades aussehen, die mit der natürlichen Exponentialfunktion im Funktionswert und den ersten n Ableitungen bei x = 0 übereinstimmt? Begründen Sie.

Hallo zusammen, ich habe bereits einen Ansatz in Form einer Funktion dritten Grades. Ab da komme ich leider nicht weiter.
Schonmal Danke im Voraus!
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1 Antwort
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Was ist denn der Wert von \(f(x) =e^x\) an der Stelle x=0 .?
Was ist der Wert der Ableitungen von f(x) an der Stelle x=0.
Dann kannst du mit deinem allgemeinen Polynomansatz die Koeffizientenwerte schnell bestimmen.
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An der Stelle x=0 ist der Wert der Funktionen 1. Dort schneiden sich dann alle Funktionen logischerweise.

Ab da komme ich leider nicht weiter. :(
  ─   user52f189 06.06.2022 um 15:49

Die Bezeichnung $f(x)=e^x$ ist hier ungünstig - $f$ ist die gesuchte Funktion. Für $f$ hast Du einen Ansatz, außerdem kennst Du $f(0), f'(0), f''(0), f'''(0)$. Einsetzen in den Ansatz und Lösen des LGS. Standardvorgehen bei allen Steckbriefaufgaben.   ─   mikn 06.06.2022 um 16:04

Habe jetzt f(x)=1/6x^3+1/2x^2+x+1
Allerdings ist die dritte Ableitung f´´´(x)=x
Das kann ja nicht stimmen, da dann f´´´(0)=0 ist und nicht 1.
  ─   user52f189 06.06.2022 um 17:08

Dann hast Du Dich bei der Probe mit f''' verrechnet. Es kann auch gar nicht f'''(x)=x sein, denn da f Grad 3 hat, muss f''' Grad 0 haben, also konstant sein.   ─   mikn 06.06.2022 um 17:15

Fehler gefunden 😅

„Wie müsste eine ganzrationale Funktion n-ten Grades aussehen, die mit der natürlichen Exponentialfunktion im Funktionswert und den ersten n Ableitungen bei x = 0 übereinstimmt? Begründen Sie.“

Wie gehe ich den zweiten Aufgabenteil an? Einfach die Funktion und Ableitungen beschreiben?
  ─   user52f189 06.06.2022 um 17:37

Ja, die Begründung ist deine Rechnung, mit erklärendem Text dazu. Siehe auch unsere Antworten oben.   ─   mikn 06.06.2022 um 18:33

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