N Ableitungen und natürliche Exponentialfunktion

Erste Frage Aufrufe: 430     Aktiv: 06.06.2022 um 18:33
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Bestimmen Sie eine Funktion f dritten Grades, bei der der Funktionswert sowie die ersten drei Ableitungen an der Stelle x = 0 mit der natürlichen Exponentialfunktion übereinstimmen. Wie müsste eine ganzrationale Funktion n-ten Grades aussehen, die mit der natürlichen Exponentialfunktion im Funktionswert und den ersten n Ableitungen bei x = 0 übereinstimmt? Begründen Sie.

Hallo zusammen, ich habe bereits einen Ansatz in Form einer Funktion dritten Grades. Ab da komme ich leider nicht weiter.
Schonmal Danke im Voraus!
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1 Antwort
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Was ist denn der Wert von \(f(x) =e^x\) an der Stelle x=0 .?
Was ist der Wert der Ableitungen von f(x) an der Stelle x=0.
Dann kannst du mit deinem allgemeinen Polynomansatz die Koeffizientenwerte schnell bestimmen.
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An der Stelle x=0 ist der Wert der Funktionen 1. Dort schneiden sich dann alle Funktionen logischerweise.

Ab da komme ich leider nicht weiter. :(
   ─   user52f189 06.06.2022 um 15:49
Habe jetzt f(x)=1/6x^3+1/2x^2+x+1
Allerdings ist die dritte Ableitung f´´´(x)=x
Das kann ja nicht stimmen, da dann f´´´(0)=0 ist und nicht 1.   ─   user52f189 06.06.2022 um 17:08
Fehler gefunden 😅

„Wie müsste eine ganzrationale Funktion n-ten Grades aussehen, die mit der natürlichen Exponentialfunktion im Funktionswert und den ersten n Ableitungen bei x = 0 übereinstimmt? Begründen Sie.“

Wie gehe ich den zweiten Aufgabenteil an? Einfach die Funktion und Ableitungen beschreiben?
   ─   user52f189 06.06.2022 um 17:37

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