Da hast du auch völlig recht! Das Pascalsche Dreieck ist dazu da, Terme der Form (a+b)^n auszumultiplizieren. Mit 6 Summanden ergibt das eine wirklich elend lange Rechnerei! Selbst, wenn du das Pascalsche Dreieck mehrmals hintereinander benutzt, indem du die Summanden immer wieder in zwei Gruppen zerlegst, braucht man ziemlich lange für die Rechnung. Ich behaupte mal, da hat euer Lehrer entweder nicht nachgedacht, oder er hat das mit dem Pascalschen Dreieck nicht verstanden ...

Das Ergebnis lautet übrigens:

\( x^{18} + 3·x^{17} + 6·x^{16} + 10·x^{15} + 15·x^{14} + 21·x^{13} + 25·x^{12} + 27·x^{11} + 27·x^{10} + 25·x^9 + 21·x^8 + 15·x^7 + 10·x^6 + 6·x^5 + 3·x^4 + x^3 \)

`(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)=x*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)=x*(1+x*(1+x+x^2+x^3+x^4))`
`=x*(1+x(1+x(1+x+x^2+x^3)))=x*(1+x(1+x(1+x(1+x+x^2))))`
`=x*(1+x(1+x(1+x(1+x(1+x)))))`
Das kann man natürlich auch in einem Schritt sehen...

Jetzt haben wird das Problem reduziert auf eine andere Form - vielleicht kennt ihr ja dafür eine Lösungsformel:
Ansonsten mit folgendem Trick arbeiten:

`(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)=x*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)`
`=x*(1+x(1+x(1+x(1+x(1+x)))))*(1-x)/(1-x)=x*(1-x^6)/(1-x)`

Also erhalten wir:

`(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3=x^3*(1-x^6)^3/(1-x)^3`

Verwende: `(a-b)^n`
1
1 -1
1 -2 1
1 -3 3 -1 --> Hoch 3
 
`=x^3*(1-3x^6+3x^12-x^18)/(1-3x+3x^3-x^3)`

Alternativ:

`(1+x)^2=1+2x+x^2`
`(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3`

`(1+x(1+x))^2=1+2*x(1+x)+x^2*(1+x)^2`
`=1+2x(1+x)+x^2*(1+2x+x^2)`
`=1+2x+2x^2+x^2+2x^3+x^4`
`=1+2x+3x^3+2x^3+x^4`

`(1+x(1+x))^3=1+3*x(1+x)+3*x^2*(1+x)^2+x^3*(1+x)^3`
`=1+3*x(1+x)+3*x^2*(1+2x+x^2)+x^3*(1+3x+3x^2+x^3)`
`=1+3x+3x^2+3x^2+6x^3+3x^4+x^3+3x^4+3x^5+x^6`
`=1+3x+6x^2+7x^3+6x^4+3x^5+x^6`

Mit einigem Aufwand lässt sich jetzt mit Vollständiger Induktion auch eine allgemeine Formel für n Verschachtelungen angeben, aber schon sie aufzuschreiben ist mehr als unangenehm:
Daher nur die ersten Terme (ich gebe nur die Koeffizienten an, begonnen bei `x^0` bis `x^(3*n)`):

1, siehe oben:
`1,3,3,1`
2, siehe oben:
`1,3,6,7,6,3,1`
3,
`1,3,6,10,12,12,10,6,3,1`
4,
`1,3,6,10,15,18,21,18,15,10,6,3,1`
5, Dieses Ergebnis kann ebenfalls für die Aufgabe verwendet werden:
`1,3,6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,10,6,3,1`
6,
`1,3,6,10,15,21,28,33,36,37,36,33,28,21,15,10,6,3,1`

Ich hoffe die allgemeine Bildungsregel wird deutlich:

1+2+3+...+(n-1)+n+(n+1)+(n-1)+(n-3)+(n-5)+... bis (+2) oder (+1) erreicht ist, danach symmetrisch!