Konvergenz und Grenzwerte von Folgen für n gegen unendlich

Erste Frage Aufrufe: 391     Aktiv: 19.01.2021 um 15:27
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Hallo liebe Mathefragen-Community,

ich habe zwei Fragen zur dieser Aufgabe. Hier soll der Grenzwert für n gegen unendlich ermittelt werden.

 

Die Musterlösung sieht folgendermaßen aus:

Meine Fragen hierzu:

1. Wie kommt man auf das Intervall mit der oberen Schranke 1/2? Wurde die einfach erstmal gesetzt, da ja die Inverse der eulerischen Zahl ja schon deutlich unter 1/2 ist oder wie lässt sich die ermitteln? Die untere Schranke 0 ist ja klar.

2. Ich weiß nicht genau, wie beim lim, n gegen unendlich, die 2^-n zustande kommen. Es wird ja bei diesem Ausdruck nur der Exponent der eulerischen Zahl verwendet und das zwei mal weil hoch 2, oder wie hab ich das zu verstehen?

Ich bedanke mich schonmal im voraus freue mich auf eure Antworten.

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Deine erste Frage hast Du ja schon selber beantwortet. Hier hätte man statt \(\frac12\) jede Andere Zahl aus \((\mathrm{e}^{-1},1)\) nehmen können. Die Zahl \(\frac12\) ist nur eine besonders einfache Wahl. Und man versucht meist, möglichst einfache Beweise zu machen.

Du wendest die Funktion \(a\mapsto a^n\) auf die Ungleichung \[0\le\left(1-\frac1n\right)^n\le\frac12\] an. Weil die Funktion monoton wachsend ist, bleiben die Ungleichungen erhalten und es ergibt sich \[0\le\left(1-\frac1n\right)^{n^2}\le\frac1{2^n}= 2^{-n}.\] Das Ergebnis folgt dann mit dem Einschnürungssatz (Sandwich-Kriterium).

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Hey Danke für die schnelle Antwort! Du hast mir sehr weitergeholfen.

Eine Frage zur rechten Seite im Sandwich-Kriterium habe ich noch: Wieso kann man für die rechte Seite (1-1/2)^n <= 1/2 schreiben und nicht nur < ? Für welchen Wert n sind denn beide Terme = 1/2? Oder steh ich gerade etwas auf dem Schlauch?   ─   maths123 19.01.2021 um 14:49
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\(\le\) heißt ja "kleiner oder gleich", gilt also auch, wenn in Wirklichkeit das strengere \(<\) erfüllt ist. Also bleibt es immer richtig, überall \(<\) durch \(\le\) zu ersetzen. Nur ist das manchmal eben zu schwach und zerstört dann ein Argument. Aber hier ist es egal, das Sandwich-Kriterium braucht nur "\(\le\)".   ─   slanack 19.01.2021 um 15:00
Ah achso also wird in diesem Fall nur < betrachtet, wobei bei anderen Sandwich-Kriterien kleiner UND gleich auftreten können?   ─   maths123 19.01.2021 um 15:06
Nein, kleiner und gleich tritt nie auf, das ist ein Widerspruch. Es ist hier einfach egal, ob man \(<\) oder \(\le\) schreibt. Spielt keine Rolle.   ─   slanack 19.01.2021 um 15:11
Hatte mich undeutlich ausgedrückt, meinte das bestimmten Termen wo man ein bestimmtes n1 für den Fall gleich hat und andere n für den fall kleiner.

Aber danke für die Aufklärung und die schnelle Hilfe!   ─   maths123 19.01.2021 um 15:26

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