Berechnung von Eigenvektoren

Erste Frage Aufrufe: 768     Aktiv: 23.05.2021 um 23:04

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Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe:

Die Eigenwerte habe ich berechnet \(\lambda_{1,2}\) = 1 und \(\lambda_{3}\) = -1
Als Lösung sind folgende 3 Eigenvektoren angegeben:

Wie berechne ich das ganze mit den LGS so, dass ich am Ende diese 3 Eigenvektoren erhalte? (Wie das Aufstellen und das Normieren am Ende funktioniert weiß ich)

Vielen Dank im Voraus!

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Es gilt ja nach Voraussetzung \(Av=\cdot \lambda v \Leftrightarrow (A-\lambda I)v=0\). Du musst also für jeden Eigenwert,  den jeweiligen Eigenwert auf der Hauptdiagonalen abziehen und dann das homogene LGS lösen.
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Student, Punkte: 10.87K

 

Dessen bin ich mir bewusst. Ich krieg nur irgendwie die LGS nicht gelöst. so ist bspw. für \(\lambda\) = 1 im LGS für die Gleichungen 1, 2 und 3: 0 * \(x_{2}\). Wie löse ich sowas/gehe damit um? Ist es dann Automatisch \(x_{2}\) = 0? und Zusätzlich steht in Gleichung 1 und 2
1: -\(x_{1}\) + \(x_{3}\) = 0
3: \(x_{1}\) - \(x_{3}\) = 0

dann würde ja aus z.B. 3 folgen
x_{1} = x_{3}
und dann aus 1:
-\(x_{1}\) + \(x_{1}\) = 0
=> 0 = 0
?
  ─   usera7dff6 21.05.2021 um 19:00

Das ist ein unterbestimmtes LGS. Du hast für \(\lambda=1\) den Eigenvektor \((x_1,x_2,x_1)\) mit \(x_1,x_2 \in \mathbb{K}\). Das siehst du auch in der Lösung, dass erste und dritte Komponente bei zwei Vektoren übereinstimmen müssen. Es gibt halt nur unendlich viele Möglichkeiten   ─   mathejean 21.05.2021 um 19:25

Danke für die Antworten erstmal!
Und wie lege ich diese Werte fest? und wie komm ich auf den dritten Wert? und Wie komme ich überhaupt auf einen dritten Eigenvektor, wenn ich nur zwei Eigenwerte habe?
  ─   usera7dff6 21.05.2021 um 20:59

Du hast einen doppelten Eigenwert, die ersten beiden Eigenvektoren sind allgemein also \((a,b,a),(c,d,c)\) mit \(a,b,c,d \in \mathbb{K}\). Wenn du genau hinsiehst, entspricht, dass genau der Form der Vektoren \(v_1,v_2\) aus der Lösung. \(v_3\) aus der Lösung gehört also zum Eigenwert \(\lambda=-1\)   ─   mathejean 21.05.2021 um 21:13

Hey übrigens: danke nochmal für deine Hilfe. Habe es dann hinbekommen, war eigentlich echt nicht schwer... Naja, manchmal steht man wohl einfach auf dem Schlauch xD.   ─   usera7dff6 23.05.2021 um 23:04

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