Unendliche Reihe berechnen

Aufrufe: 128     Aktiv: 08.08.2022 um 15:18

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Hallo,

bei der obigen Aufgabe bin ich auf diese Summe gestoßen. Wolframalpha gibt mir dafür als Ergebnis 16, was auch stimmt, aber  ich hab nicht rausgefunden bekommen, wie man das berechnet.
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Student, Punkte: 43

 
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2 Antworten
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Hier eine alternative Lösung:

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) lässt sich für \( \vert x \vert < 1 \) als geometrische Reihe \( f(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k \) schreiben. Leiten wir zweimal ab, so erhalten wir einerseits \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \) und durch gliedweises Ableiten der Reihe andererseits \( f^{\prime \prime}(x) = \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) x^k \). Es folgt also

\( \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) (\frac{1}{2})^k = \frac{2}{(1-\frac{1}{2})^3} = 16 \)
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Student, Punkte: 6.88K

 

Oh das ist sehr cool, danke. Scheint die einfachere Lösung zu der Aufgabe zu sein. 😁👍   ─   user115e72 08.08.2022 um 15:18

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