Unendliche Reihe berechnen

Aufrufe: 508     Aktiv: 08.08.2022 um 15:18

0
Hallo,

bei der obigen Aufgabe bin ich auf diese Summe gestoßen. Wolframalpha gibt mir dafür als Ergebnis 16, was auch stimmt, aber  ich hab nicht rausgefunden bekommen, wie man das berechnet.
Freue mich über Tipps jeglicher Art
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 49

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1
Hier eine alternative Lösung:

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) lässt sich für \( \vert x \vert < 1 \) als geometrische Reihe \( f(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k \) schreiben. Leiten wir zweimal ab, so erhalten wir einerseits \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \) und durch gliedweises Ableiten der Reihe andererseits \( f^{\prime \prime}(x) = \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) x^k \). Es folgt also

\( \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) (\frac{1}{2})^k = \frac{2}{(1-\frac{1}{2})^3} = 16 \)
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 7.02K

 

Oh das ist sehr cool, danke. Scheint die einfachere Lösung zu der Aufgabe zu sein. 😁👍   ─   user115e72 08.08.2022 um 15:18

Kommentar schreiben

1
Multipliziere die Klammer vorne aus und verwende das Distributivgesetz. Für die Reihen $\sum q^k$, $\sum kq^k$ und $\sum k^2q^k$ gibt es Summenformeln, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.