(Twitter)
. Wolframalpha gibt mir dafür als Ergebnis 16, was auch stimmt, aber ich hab nicht rausgefunden bekommen, wie man das berechnet.
1
Hier eine alternative Lösung:
Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) lässt sich für \( \vert x \vert < 1 \) als geometrische Reihe \( f(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k \) schreiben. Leiten wir zweimal ab, so erhalten wir einerseits \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \) und durch gliedweises Ableiten der Reihe andererseits \( f^{\prime \prime}(x) = \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) x^k \). Es folgt also
\( \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) (\frac{1}{2})^k = \frac{2}{(1-\frac{1}{2})^3} = 16 \)
Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) lässt sich für \( \vert x \vert < 1 \) als geometrische Reihe \( f(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k \) schreiben. Leiten wir zweimal ab, so erhalten wir einerseits \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \) und durch gliedweises Ableiten der Reihe andererseits \( f^{\prime \prime}(x) = \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) x^k \). Es folgt also
\( \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2) (\frac{1}{2})^k = \frac{2}{(1-\frac{1}{2})^3} = 16 \)
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
42
Student, Punkte: 7.02K
Student, Punkte: 7.02K
Oh das ist sehr cool, danke. Scheint die einfachere Lösung zu der Aufgabe zu sein. 😁👍
─
user115e72
08.08.2022 um 15:18
