Wie beweise ich, dass diese Folge uneigentlich konvergent ist?

Aufrufe: 992     Aktiv: 17.03.2021 um 20:27
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\(a_n=\frac{q^n}{n} \text{,   } (q>1)\)

Ich vermute (man sieht recht deutlich), dass diese Folge uneigentlich konvergent (Limes=unendlich) ist. Wie forme ich die Folge nun richtig um, damit ich das auch mit (allg. bekannten) Rechenregeln zeigen kann. Bin da recht ratlos.

Danke





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Also das ist nur eine erste Idee, aber mir würde spontan einfallen: Um zu zeigen, dass deine Folge divergiert, muss die Unbeschränktheit zeigen. Das könntest du vllt so machen indem du q:=1+x definierst, dann kannst du bernoulli ungleichung anwenden und hättest den Ausdruck Betrag von (1+nx)/n > Betrag von x und somit ist deine Folge unbeschränkt :)   ─   vzqxi 15.03.2021 um 22:28
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Der Vorschlag von vzxqi geht in die richtige Richtung, reicht aber nicht aus, da \(x\) ja durch \(q\) festgelegt ist und nicht beliebig groß gewählt werden kann. Nimm einfach noch einen Term mehr aus der binomischen Formel mit: Für \(q=1+x\) gilt \[q^n=(1+x)^n=1+nx+\binom{n}{2}x^2+\dots\ge 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2.\] Hilft das?
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Ja, danke vielmals - ich habe nun eine Lösung.   ─   testran 17.03.2021 um 20:27

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