Wenn du Äquivalenzen zeigen sollst, ist es fast immer am besten, beide Implikationen zu zeigen. Ich mache mal eine bei der (a):
Sei \(x\) ein Berührpunkt an \(A\). Wir wollen eine Folge \((a_n)_n\subset A\) konstruieren, die gegen \(x\) konvergiert. Nach Definition des Berührpunkts gilt \(0=d(x,A)=\inf\{d(x,a)\ |\ a\in A\}\). Wegen dieses Infimums gibt es für jedes \(n\in\mathbb N\) ein \(a_n\in A\) mit \(d(x,a_n)\leq\frac1n\) (Gäbe es kein solches \(a_n\), dann wäre \(d(x,A)\geq\frac1n\)). Nun gilt für die Folge \((a_n)_n\subset A\), dass \(\lim_{n\to\infty}d(x,a_n)=0\), also konvergiert \(a_n\) gegen \(x\).

Die andere Richtung geht ähnlich, wahrscheinlich sogar einfacher, weil du dir nicht überlegen musst, wie du die Folge definieren musst.

Wenn du die (a) geschafft hast, ist die (b) auch nicht mehr schwer, es geht alles ganz ähnlich.