Konvergenz bzw. Grenzwert bestimmen

Aufrufe: 222     Aktiv: 13.10.2023 um 21:28

0

Ich wollte fragen, wie man bei bn und cn beweisen soll, dass sie gegen unendlich gehen. Man sieht ja, dass die Zahlen unendlich groß werden, daher sind die zwei Folgen uneigentlich konvergent bzw. divergent. Der uneigentliche Grenzwert ist ja dann +Infinity

Ich bin mir nicht ganz sicher wie man den Grenzwert von an berechnen würde. Ich habe mit meinem Taschenrechner Ti-nspire 1/2 herausbekommen. Ich verstehe nur nicht ganz wie man den berechnen soll. 
Könnte man da nicht auch einfach die Produktreihe auflösen und bekommt somit einen Bruch raus, wo man dann erkennt zu welchen wert die folge konvergiert. Wenn ja, weiß ich nur leider nicht, wie man solche Produktreihen auflösen/vereinfachen kann. Wir haben sowas noch nicht wirklich in der Vorlesung durchgemacht.

Edit: Ich habe jetzt herausgefunden, dass man an mittels vollständiger Induktion lösen kann. 
Ich bräuchte nur Hilfe, wie man diese Produktreihe auflösen kann.
Laut Wolfram kommt das bei der Produktreihe herraus

ich verstehe nur nicht wie man auf das kommt.
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 20

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Du musst doch gar nicht die Produktreihe "auflösen". Es reicht doch, wenn Du die von Dir angegebene Formel durch vollständige Induktion beweist. Die konvergiert ja nun offensichtlich gegen 1/2.

Induktionsanfang wäre hier zur Abwechselung bei \(n=2\). Also müsstest Du beweisen:
    \(\displaystyle \prod_{k=2}^2 \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{2+1}{2\cdot 2}\).
Induktionsvoraussetzung:  \(\displaystyle \prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{n+1}{2n}\).
Induktionsschluss: \(\displaystyle \prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{n+2}{2(n+1)}\).
Um den zu zeigen, fängt man am besten auf der linken Seite an und spaltet den Faktor für k=n+1 aus dem Produkt ab, um die Induktionsvoraussetzung  verwenden zu können, also so:
\(\displaystyle \prod_{k=2}^{n+1}  \left(1-\frac{1}{k^2} \right) \;=\;
  \left( \prod_{k=2}^n  \left(1-\frac{1}{k^2} \right) \right) \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)\;=\;
  \frac{n+1}{2n} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)
\)
So, ab hier musst Du mit den Regeln der Bruchrechnung weiterrechnen, um auf \(\displaystyle \frac{n+2}{2(n+1)}\) zu kommen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.27K

 

3
Bei der Induktionsvoraussetzung fehlt das "für ein $n\ge 2$".
Die "Induktionsschluss" genannte Aussage ist die Induktionsbehauptung. Der Induktionsschluss kommt erst danach.
  ─   mikn 13.10.2023 um 21:28

Kommentar schreiben