Tridiagonal-matrix

Erste Frage Aufrufe: 196     Aktiv: 13.12.2023 um 23:27

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Gegeben sei T ∈ R^n×n von folgender Form:

T = (a b 
       c a b 
          c a b
          .  .  .
           .  .  .
            .  .  .
                c a b
                   c a )
mit bc > 0. 
1) Zeigen Sie: T besitzt für k = 1, ..., n die Eigenwerte λk = a + 2 b ν cos ( kπ/n + 1)
mit den Eigenvektoren  vk = ( ν sin ( kπ/n + 1) , ν^2 sin ( 2 kπ/n + 1) , · · · , ν^n sin ( n kπ/n + 1))^T .

wobei ν = √c b ⇐⇒ c = bν^2 ist.
Hinweise: Berechnen Sie das Produkt aus T und den Eigenvektoren und bringen Sie das Ergebnis in eine geeignete Form.
                 Es gilt für l, x ∈ R die Formel: 2 cos(x) sin(lx) = sin((l + 1)x) + sin((l − 1)x).
2) Berechnen Sie für a = 2 und b = c = −1 die Kondition cond2(T). Wie verhält sie sich für n −→ ∞ ?

Hinweis:
Was für ein Typ Matrix ist T unter diesen Bedingungen? Falls nötig, machen Sie eine Taylorentwicklung der Kosinusfunktion.

Ich hab meine Lösung als Photo bei gefügt kann jemand es nachsehen. (ich hab in teil 2 probleme gehabt um n zu schätzen damit kann ich λk = a + 2 b ν cos ( kπ/n + 1) berechnen auch T-1 wie kann ich es finden kommt immer komische zahlen bei mir ).









EDIT vom 13.12.2023 um 23:15:

Ich höffe, dass meine lösung so richtig ist .









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1 Antwort
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Sorry für die Offenheit, aber (1) ist mir zu mühselig zu lesen. Schwer zu lesen, dem Hinweis bist Du nicht gefolgt ($Tv$ ausrechnen und in einer =-Kette umformen bis $\lambda v$). Vielleicht ist der richtige Gedanke drin. Fakt ist aber, dass man drei Fälle betrachten muss, das erkenne ich in Deiner Lösung nicht.
Zu (2): Die EWe sind $2-2\cos \frac{k\pi}{n+1}$ für $k=1,...,n$. Damit ist
${\rm cond}_2(T)=\frac{1-\cos \frac{n\pi}{n+1}}{1-\cos \frac{\pi}{n+1}} \longrightarrow \infty$, denn der Zähler geht gegen 2, und der Nenner gegen 0.
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Vielen Dank für die Rückmeldung. ich hab meine Lösung Korigiert und und lesbar ist . Könnten Sie bitte nochmal es nachsehen ,ich hab es als Photo beigefügt   ─   abdull 13.12.2023 um 23:12

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Nur zu (2): Warum so kompliziert? Ok, Du benutzt $\cos (\pi-x)=-\cos x$, ist nicht nötig, aber meinetwegen. Damit könntest Du nun den Grenzwert direkt ablesen. Aber nein, Du schreibst um auf $\cos^2$ und weil das immer noch zu einfach ist, auf $\cot^2$. In der Mathematik geht es darum, die Dinge einfach zu machen. Es kommt dann richtig raus, immerhin.
Das motiviert mich nun gar nicht, auch noch (1) anzuschauen. Meinen Hinweis (ist im Prinzip der aus der Aufgabe, Gleichungskette, drei Fälle) hast Du nicht umgesetzt.
  ─   mikn 13.12.2023 um 23:27

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