Gegeben sei T ∈ R^n×n von folgender Form:

T = (a b 
       c a b 
          c a b
          .  .  .
           .  .  .
            .  .  .
                c a b
                   c a )
mit bc > 0. 
1) Zeigen Sie: T besitzt für k = 1, ..., n die Eigenwerte λk = a + 2 b ν cos ( kπ/n + 1)
mit den Eigenvektoren  vk = ( ν sin ( kπ/n + 1) , ν^2 sin ( 2 kπ/n + 1) , · · · , ν^n sin ( n kπ/n + 1))^T .

wobei ν = √c b ⇐⇒ c = bν^2 ist.
Hinweise: Berechnen Sie das Produkt aus T und den Eigenvektoren und bringen Sie das Ergebnis in eine geeignete Form.
                 Es gilt für l, x ∈ R die Formel: 2 cos(x) sin(lx) = sin((l + 1)x) + sin((l − 1)x).
2) Berechnen Sie für a = 2 und b = c = −1 die Kondition cond2(T). Wie verhält sie sich für n −→ ∞ ?

Hinweis:
Was für ein Typ Matrix ist T unter diesen Bedingungen? Falls nötig, machen Sie eine Taylorentwicklung der Kosinusfunktion.

Ich hab meine Lösung als Photo bei gefügt kann jemand es nachsehen. (ich hab in teil 2 probleme gehabt um n zu schätzen damit kann ich λk = a + 2 b ν cos ( kπ/n + 1) berechnen auch T-1 wie kann ich es finden kommt immer komische zahlen bei mir ).

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EDIT vom 13.12.2023 um 23:15:

Ich höffe, dass meine lösung so richtig ist .




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