Injektivität

Aufrufe: 96     Aktiv: 25.06.2021 um 11:26

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Ist eine stetig differenzierbare Funktion von R->R^2 injektiv wenn die Jacobimatrix von f injektiv ist? Ich habe irgendwie generell große Schwierigkeiten mir eine Funktion mit eindimensionalem input und zweidimensionalem output vorzustellen

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Was meinst du damit, dass die Jacobimatrix von $f$ injektiv ist? Bei so einer Funktion ist die Jacobi"matrix" ja einfach ein zweidimensionaler Vektor. Was soll hier Injektivität bedeuten.
So oder so dürfte es da keinen Zusammenhang geben. Im Eindimensionalen gilt so etwas ja auch nicht. Wenn du überprüfen willst, ob eine solche Funktion injektiv ist, setze mit $f(x)=f(y)$ an und versuche zu beweisen, dass $x=y$ gilt.
  ─   stal 23.06.2021 um 15:34
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1 Antwort
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Hallo,

hast du es denn für den 1D Fall schon widerlegt?

Eine solche Funktion die in $\mathbb R^2$ abbildet hat die Form

$$ f(x) = \begin{pmatrix} u(x) \\ v(x) \end{pmatrix} $$

hat die Ableitung

$$ f_x(x) = \begin{pmatrix} u_x(x) \\ v_x(x) \end{pmatrix} $$

Selbst wenn du jetzt ein Argmuent konstant lässt, solange das andere Argument eine injektive Funktion hat, bleibt die ganze Funktion injektiv. Oder umgekehrt, solange ein Argument eine nicht injektive Funktion hat, ist die ganze Funktion nicht injektiv.  Du kannst also den 1D Fall ganz einfach übertragen. 

Grüße Christian

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Ja perfekt.
Jetzt musst du für den zweiten Fall ja auch nur ein Gegenbeispiel finden. Wie könnte das aussehen?
  ─   christian_strack 25.06.2021 um 11:26

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