Zunächst zum Induktionsanfang

Es reicht zu zeigen, dass \(x_0= 2^0+3^0\) ist - und das ist der Fall, denn \(x_0=2\) und \(
2^0+3^0= 1+1=2\) (da hast du einen kleinen Fehler) sowie \(x_1=2^1+3^1\) ist - und auch das ist der Fall, denn \(x_1=5\) und \(2^1+3^1=2+3=5\).

Nun zur Induktionsvoraussetzung

Man darf annehmen, dass \(x_{n-1}=2^{n-1}+3^{n-1}\)  und \(x_n=2^n+3^n\) ist für \(n\in\mathbb{N}\).

Dann zum Induktionsschritt

Per Definition der Folge ist

\(x_{n+1}= 5x_n -6x_{n-1}\).

Nun setzten wir die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten

\(x_{n+1}= 5x_n -6x_{n-1} = 5\cdot (2^n+3^n) - 6\cdot (2^{n-1}+3^{n-1}) \)

\(\qquad= 5\cdot 2^n+5\cdot 3^n-6\cdot 2^{n-1}-6\cdot 3^{n-1}=5\cdot 2^n+5\cdot 3^n-3\cdot 2^{n}-2\cdot 3^{n} =(5-3)\cdot 2^n+(5-2)\cdot 3^n= 2^{n+1} + 3^{n+1} \)

was zu zeigen war.