Aufgabe zum Integral

Aufrufe: 231     Aktiv: 07.11.2023 um 11:22

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kann mir bitte jemand bei 3 und 4 helfen? Bei 4 würde ich nach 0 und 8 integrieren, die 2. Funktion und bekomme 42,88 heraus - stimmt das? Bei der 4. kenn ich mich nicht aus und bei der Letzten bin ich mir auch unsicher V/a(t) - danke schonmal 

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Sorry, aber dieses Geflimmere kann ich nicht lesen - weder mit noch ohne Brille.   ─   m.simon.539 01.11.2023 um 01:39

Ich schicke es noch einmal   ─   smw 02.11.2023 um 14:15

Ein leeres, quaderförmiges Schwimmbecken mit 9 m Länge, 8 m Breite und 4 m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Die Anderungsrate der Wassermenge (in m3 pro Stunde) beim Auffüllen ist durch folgende konstante Funktion gegeben:
a(t) = 5.4
Nachdem das Schwimmbecken gänzlich gefüllt wurde, wird das Wasser später mit der folgenden Anderungsrate wieder abgepumpt:
b(t) =-1.19 •t - 0.6
Nach wie vielen Stunden ist das Schwimmbecken gänzlich gefüllt?
Wie groß ist die Wassermenge nach 34 Stunden
Auffüllen?
Wie viele Stunden dauert es, das gänzlich gefüllte Schwimmbecken wieder zu leeren?
Wie groß ist die Wassermenge nach 8 Stunden
Abpumpen?
Mit welcher konstanten Anderungsrate b(t) muss das Schwimmbecken abgepumpt werden, damit es bereits nach 8 Stunden entleert ist?

Antwort 1:
53,33
Antwort 2:
183,60
Antwort 3:
?
Antwort 4:
42,88
Antwort 5:
-36,00
  ─   smw 02.11.2023 um 14:21
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1 Antwort
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Antwort 1 und 2 sind schonmal richtig.

Antwort 3 geht so:
Sei T die gesuchte Zeit, die es braucht, um das volle Schimmbecken komplett zu leeren.
Sei f(t) das Volumen nach t Stunden Leer-Zeit, in \(m^3\).
Da b die Änderungsrate von f ist, gilt
f'(t) = b(t).
Integration beider Seiten in den Grenzen 0 und T liefert:
\(\int_0^T f'(t)\,dt = \int_0^T b(t)\,dt\)
Rechts b eingesetzt, links den Hauptsatz der D&I-Rechnung angewendet ergibt:
\(f(T)-f(0) = \int_0^T -1,19 t - 0,6\,dt\)
Zur Zeit T ist das Becken ja leer, also f(T)=0.
Zur Zeit 0 ist das Becken ja voll, also f(0)=288.
Daraus folgt:
\(288 = \int_0^T -1,19 t - 0,6\,dt\)
Wenn man rechts das Integral ausgerechnet, erhält man eine quadratschische Gleichung für T.
Die kannst Du dann lösen, und von den beiden Lösungen musst Du Dir die sinnvollste aussuchen.
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Sehr nett, vielen vielen Dank!!   ─   smw 07.11.2023 um 11:22

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