Abbildung Prüfen (linear, Kern, surjektiv)

Aufrufe: 105     Aktiv: vor 1 Monat, 2 Wochen

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Guten Abend,

ich habe folgende Aufgabe:

und beiße mir gerade etwas die Zähne an b) und c) aus. Könntet ihr mir da etwas auf die Sprünge helfen?

Danke schon mal im Voraus!

gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
anonym,
Student, Punkte: 51

 
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1 Antwort
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Zuerst bestimmt man \(kern(T) = \{ f | f'=-2\,f\}\). Erinnert Dich das an was? Was hast Du da erhalten? Gerne helfe ich Dir eine Basis zu finden.

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 8.18K
 

Ich würde mal sagen, dass ich ein \( f \) suche, welches die Gleichung \( f' = -2f \) erfüllt. Dazu würde mir die e-Funktion einfallen, da sich diese beim Ableiten nicht verändert, also sollte \( f = e^{-2x}\) sein?   ─   anonym, vor 1 Monat, 2 Wochen

e-Funktion als erste Idee ist schonmal gut. \(f(x)=e^{-2x}\) auch, dieses \(f\) ist also schonmal im Kern. Gibt es noch mehr Funktionen? Kennst Du schon Differenzialgleichungen?   ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen

Gehört habe ich schon mal was davon, aber gerechnet bzw. benutzt kaum.   ─   anonym, vor 1 Monat, 2 Wochen

Die Gleichung f'=-2f ist ein Differenzialgleichung. Eine Lösung hast Du schon gefunden. Die allg. Lösung ist (verrate ich, damit wir weiterkommen): f(x)=ce^{-2x}, mit bel. Konstante c. Andere Lösungen gibt es nicht. D.h. \(kern (T) = \{f | f(x)=c\,e^{-2x}, \,c\in R\}\). Zur Basis: Kannst Du die Dimension feststellen? Dann wüssten wir nämlich, wieviele Elemente die Basis haben muss.   ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen

Da wir nur vielfache von \( e^{-2x} \) in unserem Kern haben würde ich trotzdem sagen \( dim(kern) = 1 \), da es trotztem nur "ein" Element ist (auch wenn es ein vielfaches ist).   ─   anonym, vor 1 Monat, 2 Wochen

Sehr gut. Und die Basis ist?
  ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen

Ich würde jetzt auch sagen \( B_{(kern)}={ce^{-2x}}\) ?   ─   anonym, vor 1 Monat, 2 Wochen

Was ist c? Die Basis besteht aus einer konkreten Funktion, deren Vielfache den Kern ausmachen. Vorgreifend schonmal: Für Teil c) braucht man wirklich die Anfänge der Differenzialgleichungen.   ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen

Alles klar, dann werde ich mir dazu mal ein paar Videos zu angucken, damit ich die Materie besser verstehe. Ein Kommilitone hat für c) folgende Aussage getroffen: T ist nicht injektiv, da K(T) nicht {0} und nicht surjektiv, weil nicht alle Elemente in C(R) getroffen werden.
Ist diese Aussage so korrekt?
  ─   anonym, vor 1 Monat, 2 Wochen

Zu injektiv: korrekt, aber: danach wurde in der Aufgabe nicht gefragt.
Zu surjektiv: nicht korrekt, und da fehlt auch die "klare schlüssige Begründung". Letzteres findest Du in einem Satz über Lösbarkeit von Dgl. Dazu schreib aber erstmal hin, was surjektiv hier heißt. Dann weißt Du eher, nach welchem Satz Du suchen könntest. Zu rechnen ist da nichts.
  ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen

Sorry, ich korrigiere mich: T ist surjektiv, hab den vorigen Kommentar entsprechend editiert.   ─   mikn, vor 1 Monat, 2 Wochen
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