Teleskopsumme - Umformung nachvollziehen

Aufrufe: 25     Aktiv: 14.05.2021 um 11:50

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Zur Bestimmung des Grenzwertes sollte die Teleskopsumme genutzt werden. Der Dozent hat die Aufgabe in seinen Lösungen dabei folgendermaßen umgeformt. Ich kann dabei nicht nachvollziehen, woher das 1/2 vor dem Summenzeichen kommt.

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Das \(\frac12\) vor dem Summenzeichen kommt daher, dass im Zähler des Bruches eine \(2\) aufgetaucht ist. Das wurde prophylaktisch gemacht, damit dann in der Partialbruchzerlegung schöne Zahlen im Zähler stehen. Intuitiver wäre die Rechnung $$\sum_{k=1}^\infty\frac1{4k^2-1}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1/2}{2k-1}-\frac{1/2}{2k+1}\right)=\frac12\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=\ldots$$
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Wow, das ging schnell! Vielen Dank für die ausführliche Lösung   ─   powertoaster 14.05.2021 um 11:50

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