Das \(\frac12\) vor dem Summenzeichen kommt daher, dass im Zähler des Bruches eine \(2\) aufgetaucht ist. Das wurde prophylaktisch gemacht, damit dann in der Partialbruchzerlegung schöne Zahlen im Zähler stehen. Intuitiver wäre die Rechnung $$\sum_{k=1}^\infty\frac1{4k^2-1}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1/2}{2k-1}-\frac{1/2}{2k+1}\right)=\frac12\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=\ldots$$