Funktion in R^2 stetig in (0,0)

Aufrufe: 648     Aktiv: 13.06.2021 um 15:51
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Es geht um die Stetigkeit. Es ist nicht stetig, wie man zB mit \( a_n = \frac{1}{n} \text{und } b_n = \frac{1}{n^2} \) einsehen kann. Wie kann das aber sein: die Grafik der Funktion sieht stetig aus in (0,0).
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Student, Punkte: 260

 
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1 Antwort
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Der Graph der Funktion nähert sich überall an die komplette $z$-Achse an, das dürfte bei einer stetigen Funktion nicht sein. Die $z$-Achse (außer dem Ursprung) bildet sozusagen ein "Loch" im Graphen der Funktion.
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Verstehe ich nicht. Wie kann ich mir die z-Achse vorstellen?   ─   akimboslice 12.06.2021 um 18:48
Die $z$- oder auch $x_3$-Achse ist die blaue Achse in deinem Bild, die nach "oben" zeigt, an der die Funktionswerte angetragen werden. Es sieht doch so aus, als ob die blaue Achse komplett auf dem Graph der Funktion liegen würde, oder? Das kann aber natürlich nicht sein, denn $f(0,0)=0$ und sonst nichts. Der Graph nähert sich also überall beliebig nah an die $z$-Achse an, ohne dass sie Teil des Graphen ist. Das ist im Prinzip genau die geometrische Bedeutung dafür, dass du eine Folge hast, sodass der Funktionswert des Grenzwerts ungleich dem Grenzwert der Funktionswerte ist: Der Graph nähert sich einem Punkt an, aber macht dort plötzlich einen Sprung. Dieser "Sprung" ist hier dadurch verdeckt, dass er nur auf einer "unendlich dünnen" Linie passiert, die man im Graphen nicht wirklich sieht, wenn man sie nicht extra kennzeichnet.   ─   stal 12.06.2021 um 18:55
Grandios erklärt, danke.   ─   akimboslice 13.06.2021 um 15:51

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