Beweis zur Eindeutigkeit von Geraden

Aufrufe: 800     Aktiv: 14.04.2020 um 12:06
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Hallo liebe Community,

Ich brauche mal wieder Hilfe bei einem Beweis. Dabei geht es um den folgenden Satz:

"Eine Teilmenge L c R^2 ist genau dann eine Geraade, wenn es v,w € R^2 mit w ungleich 0 gibt, sodass L = v + Rw"

Dabei bietet das Buch von Gerd Fischer zur Linearen Algebra jedoch nur einen komplizierten Beweis den ich nicht ganz verstehe. Darum hoffe ich hier jemanden zu finden, welcher mir einen Beweis für diesen Satz geben kann.

 

MFG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Student, Punkte: 138

 
Wie genau ist in diesem Buch denn eine Gerade definiert?   ─   sterecht 13.04.2020 um 14:34
Auf der gleichen Seite wie dieser Satz steht als Definition: "Eine Teilmenge L c R^2 heißt Gerade, wenn es a1, a2, b € R mit (a1, a2= ungleich (0, 0) gibt, sodass L = {(x1, x2) € R^2 : a1x1 + a2x2 = b}".
Also wird die Gerade als lineare Gleichung beschrieben und die Menge der Lösungen betrachtet (wenn ich es richtig verstehe). Ich hoffe, dass war was du wissen wolltest.   ─   peterneumann 13.04.2020 um 14:48
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Für die eine Richtung nimmst du an, dass `L = v + RR w` ist. Du musst zunächst `a_1`, `a_2` und `b` finden. Erinnerst du dich, wie du am Gymnasium die Parametergleichungen von Ebenen in Koordinatengleichungen umgerechnet hast. Das geht hier im Prinzip genauso. Eine Möglichkeit ist: Der Vektor `((a_1),(a_2))` ist ein Normalenvektor zu `w`, also zum Beispiel `a_1 = w_2`, `a_2 = -w_1` und `b` bekommst du, wenn du `v` in `a_1 x_2 + a_2 x_2` für `(x_1, x_2)` einsetzt. Also `b = w_2 v_1 - w_1 v_2`.

Jetzt hast du die Gleichung für die Gerade. Jetzt musst du nachweisen, dass die Menge  `{(x_1,x_2)|a_1 x_2 + a_2 x_2 = b}` mit `L` übereinstimmt. Dazu nimmst du zunächst einen allgemeinen Punkt in `L`, also `(v_1 + t w_1, v_2 + tw_2)` und setzt ihn in die Gleichung `a_1 x_2 + a_2 x_2 = b` ein und überprüfst, dass du eine wahre Aussage erhältst. Andersherum musst du zeigen, dass jede Lösung der Gleichung `a_1 x_2 + a_2 x_2 = b` von der Gestalt `(v_1 + t w_1, v_2 + tw_2)` ist.

 

 

 

 

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Also den Anfang bis zu der Gleichung der Geraden verstehe ich soweit. Der Nachweis für die Menge die mit L übereinstimmen soll verstehe ich jedoch nicht ganz. Ich verstehe nicht direkt wie du auf den Punkt (v1 + tw1, v2 + tw2) kommst bzw. welche Bedeutung t dort hat. Aber erstmal danke für deine erste Antwort :)   ─   peterneumann 14.04.2020 um 12:03
Ausgeschrieben ist `v + RR w = {((v_1), (v_2)) + t ((w_1), (w_2)) | t in RR}`. Hilft das?   ─   digamma 14.04.2020 um 12:06

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