Herleitung Cramersche Regel

Erste Frage Aufrufe: 1441     Aktiv: 28.10.2019 um 19:09

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Неyу ich muss eine GFS zum Thema "Cramersche Regel - Herleitung und Anwendung" halten, und ich verstehe zwar, wie man sie anwendet, aber die Herleitung wird irgendwie überall anders erklärt und jedes mal extrem kompliziert und ich verstehe es überhaupt nicht Auch verstehe ich nicht so richtig, wann man die jetzt anwendet, weil zum normalen bestimmen von Lösungsmengen in LGS ja das Gauss Verfahren viel einfacher und schneller ist Schnelle Antworten wären erwünscht Dankeee
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Schüler, Punkte: 10

 

Ich habe ein Mathe-Tool geschrieben, mit dem du dir die Lösung eines LGS (egal ob 2x2, 3x3, 4x4, 50x50 ..., nxn) mithilfe der Cramerschen Regel berechnen lassen kannst. https://www.letsrockinformatik.de/cramersche-regel-online-rechner/ Einfach die Koeffizientenmatix A und b eintippen und lösen lassen. Du bekommst dann eine Schritt-für-Schritt-Lösung generiert. Das ist jetzt zwar keine Herleitung, könnte dir aber ggf. an anderer Stelle weiterhelfen.   ─   28.10.2019 um 16:16 Bearbeiten Löschen
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Hallo,

sei \( X_i \) die Matrix, die Einheitsmatrix, bei der die \(i\)-te Spalte durch den Lösungsvektor \( \vec{x} \) ausgetauscht wurde, also zum Beispiel:

$$ X_2 := \begin{pmatrix} 1 & x_1 & 0 & \ldots &0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\  \vdots & \vdots &  & \ddots & & \vdots  \\ 0 & x_{n-1} & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & x_n & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Mach dir nun klar, das 

$$ A \cdot X_2 = A_2 $$

oder allgemein

$$ A \cdot X_i = A_i $$

gilt, wobei \( A_i \) nun die gegebenen Koeffizientenmatrix ist, wobei die \(i\)-te Spalte durch den Vektor \( \vec{b} \) ersetzt wurde.

Auf die obige Formel lassen wir nun die Determinante los

$$ \mathrm{det} (A \cdot X_i) = \mathrm{det}(A_i) \\ \Rightarrow \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(X_i) = \mathrm{det}(A_i) $$

Mach dir nun mit Hilfe des Laplacschen Entwicklungssatz klar, das 

$$ \mathrm{det}(X_i) = x_i $$

gilt, wobei \( x_i \) der \(i\)-te Eintrag des Lösungsvektors \( \vec{x} \) ist. 

Teilen wir obige Gleichung noch durch \( \mathrm{det}(A_i) \), erhalten wir die Cramersche Regel

$$ x_i = \frac {\mathrm{det}(A)} {\mathrm{det}(A_i)} $$

Grüße Christian

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